Хиперболична спирала

Хиперболичната спирала е равнинна трансцендентна крива, известна още като реципрочна спирала. Нейното уравнение в полярни координати е , като приликата му с уравнението на хиперболата в декартови координати обуславя избора на имената на кривата. Хиперболичната спирала е инверсна (обратна) на архимедовата спирала.

Хиперболична спирала

С други думи хиперболичната спирала се дефинира като геометричното място на точка, движеща се по равномерно въртящ се около полюса лъч, така че полярният ѝ радиус да е обратно пропорционален на полярния ъгъл.

УравненияРедактиране

Представянето на спиралата с параметрични уравнения е особено елегантно:

  • в полярни координати:  ,
  • и в декартови:  .

Тъй като

 
 ,

хиперболичната спирала има асимптота в y = a.

Принципно има два клона, които съответстват на положителните и отрицателните стойности на  , но поради спецификата на графиката ѝ обикновено се изобразява само единият клон на спиралата. Тя започва от безкрайността и с нарастване на аргумента се приближава, извършвайки въртеливо движение, все по-стръмно към полюса, който представлява и асимптотична точка.

Дължината на дъга между две точки от хиперболичната спирала   се намира по формулата:

 ,

а лицето на повърхнината на сектора, съответстващ на дъгата   е:

 

Радиусът на кривината на спиралата е равен на:  .

Исторически фактиРедактиране

Хиперболичната спирала е открита през 1704 г. от Пиер де Вариньон, но независимо от него — и от Йохан Бернули.

ИзточнициРедактиране

  • „Лексикон Математика“, Георги Симитчиев, Георги Чобанов, Иван Чобанов, ИК Абагар, София, 1995, ISBN 954-584-146-Х
  • „Математический энциклопедический словарь“, Ю. В. Прохоров, „Советская энциклопедия“, Москва, 1988
  • „Математически енциклопедичен речник“, В. Гелерт, Х. Кестнер, З. Нойбер, ДИ Наука и изкуство, София, 1983
  • „Математически термини“, Н.В. Александрова, ДИ Наука и изкуство, София, 1984

Външни препраткиРедактиране