Аритметична прогресия

Аритметичната прогресия е числова редица, в която всеки член след първия се получава от своя предходен, като се прибави едно и също число. Числото, което се прибавя, се нарича разлика на прогресията и се означава с $d$. Съгласно тази дефиниция

$a_{2}=a_{1}+d,a_{3}=a_{2}+d,...,a_{n}=a_{n-1}+d,...$.

Една аритметична прогресия е определена, ако се знае първия ѝ член $a_{1}$ и разликата $d$.

Общ член на аритметична прогресия

Формулата за общия член на аритметична прогресия е

$\ a_{n}=a_{1}+(n-1)d$.

Свойства на аритметичната прогресия

• Сборът от първия и последния член на крайна аритметична прогресия е равен на сбора на всяка двойка равноотдалечени от началото и края ѝ членове. Нека прогресията е

$\ a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n-1},a_{n}$.

Тогава

$\ a_{1}+a_{n}=a_{2}+a_{n-1}=...$.

• Всеки член на аритметичната прогресия

$\ a_{1},a_{2},...,a_{i-1},a_{i},a_{i+1},...,a_{n},...$

след първия е средно аритметичен на съседните си членове:

$\ 2a_{i}=a_{i-1}+a_{i+1}$ за всяко $\ i\geq 2$.

• Обратно твърдение: Ако $\ a_{1},a_{2},...,a_{n},...$ е числова редица, в която всеки член след първия е средно аритметичен на съседните си членове, тази редица е аритметична прогресия.

Сума на първите n члена на аритметична прогресия

Да означим с S_n сумата на първите n члена на аритметичната прогресия

$a_{1},a_{2},...,a_{n},...$.

Тогава

$S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}n$.

Като имаме предвид, че

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$,

то

$S_{n}={\frac {2a_{1}+(n-1)d}{2}}n$.

Приложения

• Сумата на първите n естествени числа е

$1+2+...+n={\frac {n+1}{2}}n$.

• Сумата от квадратите на първите n естествени числа е

$1^{2}+2^{2}+...+n^{2}={\frac {n}{6}}(n+1)(2n+1)$.

• Сумата от кубовете на първите n естествени числа е

$\sum _{k=1}^{N}k^{3}=1^{3}+2^{3}+...+n^{3}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}=[{\frac {n(n+1)}{2}}]^{2}$

Вижте също

• Геометрична прогресия