Векторно произведение

Векторното произведение на два вектора и е вектор, перпендикулярен на равнината, определена от векторите и , образува дясна тройка с тях и има дължина, равна на произведението от големините на двата вектора и синуса на ъгъла между тях.

Ъгълът между два вектора приема стойности от до , следователно синусът му, а оттам – и дължината на векторното произведение са неотрицателни (т.е. дължината е коректно дефинирана):

Самото векторно произведение на два вектора се дефинира така:

като тук .

Векторното произведение на и

Ако са нанесени векторите и с общо начало, то директрисата на вектора минава през това начало и е перпендикулярна на равнината, образувана от и . Посоката на вектора се определя с правилото да образуват дясно ориентирана тройка вектори.

Аналитично представянеРедактиране

Ако векторите   и   са зададени с координатите си   и   в тримерното пространство и   са единичните вектори на дясно ориентирана ортонормирана координатна система, то:

 .

По-подробно горната формула изглежда така:  

СвойстваРедактиране

  • Антикомутативност:  

Доказателство:

 

  • Дистрибутивност:  

Доказателство:

Тъй като  , то:

 

  • Линейност:   за произволни реални числа   и  .

Доказателство:

Понеже   и  , то:

 

  • Ако  , то  

Доказателство:

Щом  , то  , откъдето следва, че

 

Пресмятане на векторното произведениеРедактиране

Нека   са единичните вектори на дясно ориентирана ортонормирана координатна система. Тогава са в сила равенствата:

 .

Понеже векторното произведение е антикомутативно, то:

 .

Освен това лесно може да се покаже, че   (равенствата следват от антикомутативността на векторното произведение).

С помощта на тези равенства можем да изразим векторното произведение на векторите   и  . Понеже

 

то векторното произведение   ще бъде равно на:

 

Геометрично тълкуванеРедактиране

Нека с   бележим лицето на успоредника и нека   е ъгълът, заключен между   и  . Тогава:

 

ПриложениеРедактиране

  • В аналитичната геометрия: Пресмятане на лице на успоредник и лице на триъгълник;
  • В механиката: пресмятане на момент на сила, въртящ момент;
  • В механиката на непрекъснатите среди (електро -, аеро - и хидродинамика): пресмятане на ротацията на векторно поле.