Отваря главното меню

В математиката и физиката вектори се наричат елементите на линейните пространства. Най-често те се отъждествяват с координатните си представяния като наредени -орки от съответното числово поле. Така евклидовите пространства и се отъждествяват със съответно евклидовите равнина - , и пространство - , където , и са реални числа.

В математиката, физиката и инженерството, евклидов вектор (понякога наричан геометричен или пространствен вектор) или просто вектор е геометричен обект, който има величина (или дължина) и посока и може да бъде добавен към други вектори, съгласно с векторната алгебра. В евклидовата геометрия векторът често се представя от част от линия с определена посока.

Съдържание

ОпределениеРедактиране

В аналитичната геометрия се използват следните определения за вектор в равнината и пространството. - Отсечка, на която единият край е избран за първи (начало), а другият за втори (край) наричаме насочена отсечка (свързан вектор). Множеството от всички насочени отсечки, равни на дадена насочена отсечка   наричаме вектор (свободен вектор), породен от насочената отсечка  . Всяка от тези насочени отсечки   наричаме представител на вектора  .

Във всяка точка всеки вектор има точно един представител. Посока и дължина на вектор наричаме посоката и дължината на кой да е негов представител. Нулев вектор   – има за представител коя да е нулева насочена отсечка, т.е. той няма посока и има дължина 0. За краткост, ако   или   разбираме, че е даден вектор с представител насочената отсечка  , т.е.  

  • Нулева насочена отсечка – началната точка А съвпада с крайната точка В
  • Ненулева насочена отсечка – началната точка А не съвпада с крайната точка В
  • Дължина – на насочената отсечка   наричаме дължината на отсечката АВ, т.е разстоянието

от А до В.

Елементи на ненулевия векторРедактиране

  • начало – точка А
  • край – точка В
  • посока – посоката на лъча  
  • директриса – правата АВ
  • дължина – дължината на АВ

Еднопосочни и противопосочни векториРедактиране

  • Два ненулеви вектора са еднопосочни, т.е  , ако лъчите   и   са еднопосочни
  • Две ненулеви отсечки са противопосочни, т.е.  , ако лъчите   и   са разнопосочни

Свойства на ненулевите векториРедактиране

  • Всяка насочена отсечка е равна на себе си;
  • Ако  , то и  ;
  • Ако   и  , то  .

Насочена праваРедактиране

Ос (насочена права) х наричаме права, на която едната от двете ѝ посоки е избрана за положителна, а другата – за отрицателна.

Алгебрична мяркаРедактиране

Алгебрична мярка (относителна стойност) АВ на ненулевата насочена отсечка АВ върху ос наричаме дължина на вектор, взета със знак плюс (+) или минус(-) в зависимост от това дали посоката ѝ съвпада с положителната или отрицателната посока на оста, т.е алгебричната мярка е реално число, като   или  

Действия с векториРедактиране

множеството от всички насочени отсечки, равни на дадена насочена отсечка АВ

Видове векториРедактиране

  • Векторът   с представител   наричаме противоположен на вектора   с представител  .
  • Колинеарни са група вектори, които лежат на една права или на успоредни прави.
  • Компланарни са група вектори, които лежат в една равнина или в успоредни равнини. Всяка двойка вектори е компланарна.

Действия с вектори в равнинатаРедактиране

РавенствоРедактиране

 


СумаРедактиране

  • Правило на триъгълника:
 
  • Правило на успоредника:
 
  • Правило на многоъгълника:
 
  • Свойства:

 

 

 

 

 

РазликаРедактиране

  • От правилото на триъгълника и правилото на успоредника следва:

 

ПроизведениеРедактиране

Произведение с реално числоРедактиране

Произведение на вектор   с число λ ∈ R наричаме вектора   с дължината   и с посока:

 , ако λ>0 и

 , ако λ<0

Ако   или  , то  .


Свойства на произведениетоРедактиране

 

 

 

Вектори в пространствотоРедактиране

Векторна база в пространствотоРедактиране

ОпределениеРедактиране

Нека   и   са ненулеви вектори в пространството и точка О е произволна точка. Нека  

Векторите   се наричат компланарни, ако точките О, А, В и С лежат в една или в успоредни равнини.

Ако лежат в различни равнини, те се наричат некомпланарни. Прието е нулевият вектор да е компланарен с произволна двойка вектори.

Тройка некомпланарни вектори в пространството се наричат векторна база в пространството.

ТеоремиРедактиране

Ако векторите   образуват база   в пространството, то за всеки вектор съществува единствено базисно представяне в тази база.

Следствие: Ако   е векторна база в пространството, то равенство от вида   е възможно тогава и само тогава, когато  

Скаларно произведение на вектори в пространствотоРедактиране

Скаларно произведение на два ненулеви вектора   е числото  

където   е косинусът на ъгъла между двата вектора, a   и   са дължините на векторите. Ъгълът може да приема стойности в интервала  .