Отваря главното меню

Математическо очакване

В математиката, и по-точно в теорията на вероятностите и статистиката, математическото очакване представлява характеристична стойност на вероятностното разпределение на една случайна величина. Математическото очакване се базира на теорията на абстрактния интеграл на Лебег. Може да се интерпретира като „средна стойност“ на дадена случайна величина, въпреки че тази стойност може да не бъде възможен неин изход. Математическото очакване не бива да се бърка с „най-вероятен изход“ от случайния експеримент.


ДефиницияРедактиране

ОзначениеРедактиране

С   =   се означава множеството на интегрируемите по Лебег случайни величини, дефинирани върху вероятностното пространство ( ).

Нека  .Тогава интегралът   се нарича математическо очакване на случайната величина  . Впоследствие се разглеждат два специални случая, които са разискани по-долу.

Математическо очакване на прекъсната случайна величинаРедактиране

  е дискретна случайна величина, т.е.  , за едно изброимо множество  .   тогава и само тогава, когато   . В случай че това е в сила, следва   .

Математическо очакване на непрекъсната случайна величинаРедактиране

  е непрекъсната случайна величина с плътност на разпределението  .   тогава и само тогава, когато  . В случай, че това е в сила, следва   .

СвойстваРедактиране

Математическото очакване представлява функция   със следните свойства:

  • Ако   е константа, то тогава  .
  • За   и   важи

 . (линейност)

  • Ако важи   за две случайни величини X и Y, то тогава следва

 . (монотонност)

ПримериРедактиране

Пример 1.Редактиране

Нека   бъде една биномно разпределена случайна величина с параметри   и  . Тогава математическото очакване на X e   .

Доказателство:

Разглеждаме   независими и еднакво разпределени случайни величини с   (  е Бернули-разпределена с параметър  ).Тъй като   е изброимо множество, попадаме в първи случай, разгледан в дефиницията по-горе. Тогава    

Дефинирайте  . Тогава   и с помощта на линейността на математическото очакване получаваме   .

Еднократно хвърляне на зар. Стохастичен модел на случайния експериментРедактиране

 
 
  : равномерно разпределение върху  .

Дефинираме една случайна величина  :  , която ще описва изхода от хвърлянето. Тогава имаме   за  . С това  .

ИзточнициРедактиране

  • Georgii, Hans-Otto (2008). „Stochastics“, Gruyter, ISBN 10: 3110191458
  • Krengel, U. (2005). „Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik“, Vieweg
  • Irle, A. (2005). „Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik“, Teubner