Отваря главното меню
Функцията и обратната ѝ . Ако , то .

Обратна функция се нарича функция, която „обръща“ друга функция. Тоест ако имаме функцията да е равна на , то нейната обратна функция би била равна на .[1][2]

Дефиниция на обратна функцияРедактиране

Ако функцията   е дефинирана и обратима в множеството   и приема стойности в множеството  , тогава функцията   се нарича обратна на  , ако за всяко  , принадлежащо на  , съществува единствено  , принадлежащо на  , за което  .

Обратима функцияРедактиране

Казваме, че функцията   е обратима в множеството  , ако за всеки 2 стойности  ,  , принадлежащи на  , от това, че   е различно от   следва, че   е различно от  .

Необходимо и достатъчно условие една функция да е обратима в множеството   е тя да бъде строго монотонна.

Свойство 1Редактиране

 
  (червено) и   (синьо) в декартова равнина.

Ако функцията   е монотонно растяща/намаляваща в множеството  , то обратната и функция   е монотонно растяща/намаляваща в  .

Свойство 2Редактиране

Графиките на дадена функция и нейната обратна са симетрични спрямо ъглополовящите на първи и трети квадрант.

ПримериРедактиране

Обратната функция на показателната функция е логаритмичната функция.

Тригонометрични функции
Функция Обратна функция
   
   
   
   
   
   

Примерна задачаРедактиране

Да се намери обратната функция на функцията y =  , x ≥ 0.

Решение:

Функцията y =  , x ≥ 0 е строго растяща, защото от 0 ≤ x1 < x2 следва f(x1)-f(x2) =   -   = (x1 – x2)(x1 + x2) < 0, т.е. f(x1) < f(x2). Това означава, че функцията y =   при x ≥ 0 е обратима. От y =  , x ≥ 0 намираме x = √y. Изразът √y има смисъл, защото y ≥ 0. Следователно обратната функция на функцията Функцията y =   за x ≥ 0 е x = √y, y ≥ 0.

ИзточнициРедактиране