Релативистичната кинетична енергия е кинетичната енергия на тяло, движещо се със скорост, съпоставима с тази на светлината (u~c). При такова движение е необходимо да се отчитат ефектите, предсказани от Специалната теория на относителността.
Определението за кинетична енергия е:
. Нека положим
, и имайки предвид релативистичната формула за импулса получаваме:
![{\displaystyle E_{k}=\int {\vec {v}}\cdot d{\vec {p}}=\int {\vec {v}}\cdot d(m\gamma {\vec {v}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d86f1b2e21026df4268ad1013a45ba3f1debfaaf)
Интегриране по части ни дава:
![{\displaystyle E_{k}=m\gamma {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-\int m\gamma {\vec {v}}\cdot d{\vec {v}}=m\gamma v^{2}-{m \over 2}\int \gamma d(v^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c63ba5329b52dc8898e3274d8aa44d956c1294db)
Понеже γ зависи от v, за повече яснота ще заместим с пълния израз за γ:
![{\displaystyle E_{k}=m{1 \over {\sqrt {\left(1-{v^{2} \over c^{2}}\right)}}}v^{2}-{m \over 2}\int {{1 \over {\sqrt {\left(1-{v^{2} \over c^{2}}\right)}}}dv^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/597ad13a6e028853124b2c1b8a8bb21f1413be32)
![{\displaystyle E_{k}={mv^{2} \over {\sqrt {\left(1-{v^{2} \over c^{2}}\right)}}}-{-mc^{2} \over 2}\int {d\left(1-{v^{2} \over c^{2}}\right) \over {\sqrt {1-{v^{2} \over c^{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0102da032ab9a9dee59ae9919fba2cf726f98a8)
![{\displaystyle E_{k}={mv^{2} \over {\sqrt {\left(1-{v^{2} \over c^{2}}\right)}}}+mc^{2}{\sqrt {1-{v^{2} \over c^{2}}}}+C^{te}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/221851f9aef6681a2d8f6dca86aea313473b4318)
![{\displaystyle E_{k}={m \over {\sqrt {(1-{v^{2} \over c^{2}})}}}\left(v^{2}+c^{2}(1-{v^{2} \over c^{2}})\right)+C^{te}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7f8e4473d68b8a0005f1640cb396a41b519cd73)
или
, като стойността на константата се дава от крайните условия: γ=1 когато v=0:
, като стойността на константата идва от забележката, че кинетичната енергия трябва да е равна на нула, когато v=0.
Следва една важна забележка: че за да ускорим тяло, до скоростта на светлината, трябва да му придадем безкрайна енергия. (Фотоните, в покой, нямат маса, така че те нито имат безкрайна енергия, нито им е придадена такава).
Релативистичната формула за пълната механична енергия, като функция от импулса е:
Когато една частица е в покой р = 0, откъдето следва известното равенство на Айнщайн:
![{\displaystyle E=mc^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f73dbd37a0cac34406ee89057fa1b36a1e6a18e)