Ротация (диференциален оператор)

Ротàция, завѝхряне или рòтор във векторния анализ е векторен диференциален оператор над векторно поле.

Обозначава се по няколко начина: [1]

  • (най-разпространено в рускоезични източници, а също и в немския, откъдето е произлязло наименованието.
  • (в англоезичната литература, предложено е от Джеймс Кларк Максуел.
  •  – диференциален оператор набла, векторно умножен по векторно поле . Резултатът от действието на оператора „ротация“ върху конкретно векторно поле се нарича „ротация на полето “ или просто „ротация от “ и представлява ново векторно поле .
Определяне на посоката на вектора на ротацията (извивката). Свитите 4 пръста на дясната ръка сочат посоката на въртене на векторното поле , а палецът показва посока на вектора на извивката .

Ротацията представлява безкрайно малко въртене на векторно поле в триизмерното евклидово пространство. Във всяка точка на векторното поле извивката около точката се изразява като вектор, наречен вектор на извивката. Свойствата (дължина и посока) на този вектор характеризират въртенето в тази точка.

Посоката на завихрянето е оста на въртене, която се определя от правилото на дясната ръка, а големината на завихрянето е количеството на въртене. Ако векторното поле представлява скоростта на потока на движещ се ротор, тогава завихрянето е плътността на циркулационната площ на ротора. Векторно поле с нулево извиване се нарича иротационно векторно поле. Ротацията е диференциална форма на вектор. Противоположността на фундаменталната теорема на смятането е теоремата на Стокс, която свързва повърхностния интеграл на завихрянето на векторно поле с криволинейния интеграл на това векторно поле около гранична крива.

За разлика от градиента и дивергенцията, ротацията не просто се обобщава към други измерения; възможно е известно обобщение, но само в три измерения, където геометрично дефинираното векторно поле на ротацията все още е векторно поле. Това явление е подобно на триизмерното кръстосано произведение и тази връзка е отразена в символа на завихрянето .

Името „завихряне“ () за ротация е предложено за първи път от Максуел през 1871 г. [2], но концепцията очевидно е използвана за първи път във формулирането на теорията на оптичното поле на Джеймс МакКълах през 1839 г. [3]

Компонентите на вектора F(r) на разстояние r, нормалата и допирателната към затворената крива C в равнината и векторната площ A = A, затворена от тази крива.

ОпределениеРедактиране

За да се дефинира завихрянето (ротацията) на векторно поле, първо трябва да се въведе понятието циркулация (или вихър). Дадено е векторно поле   в триизмерно пространство и проста затворена насочена крива  , циркулацията на   по кривата   е криволинеен интеграл от   по затворения път  : [4]

  ,

където   е линеен елемент на кривата   по допирателната към нея, а положителната ѝ посока е определена така, че площта, оградена от затворената крива   е от лявата му страна. Например, ако има водовъртеж в посока обратна на часовниковата стрелка в реката на брега на реката, тогава в обхвата на водовъртежа водният поток се върти около центъра на водовъртежа, така че скоростта на водата   следва затворена крива около вихъра обратно на часовниковата стрелка. Интегралът трябва да е по-голям от нула, т.е. циркулацията е по-голяма от нула. Това показва, че полето на скоростта на водния поток във вихъра се върти в кръгове в обхвата на вихъра.

Циркулацията, подобно на потока, е важен параметър за описание на векторно поле. Циркулацията в дадена област не е равна на нула, което означава, че векторното поле в тази област проявява характеристиката да се върти около определена точка или определена област. Ротацията е начин да се опише това свойство локално. За да се опише циркулацията на векторно поле   близо до точка, се избира малък повърхностен елемент  , включващ тази точка и се разглежда циркулацията на векторното поле   по дължината на граничната крива  . [5] Когато повърхностният елемент   се свие и площта   клони към нула, векторното поле   е по протежение на пръстена и повърхностния елемент на  . Граничната стойност на съотношението на циркулацията на векторното поле   по контура   към площта, заградена от него на панела   е [4]

  .

Нарича се плътност на циркулационната площ, повърхностна плътност на циркулация или сила на циркулация на векторното поле  . Очевидно, тъй като посоката [Забележка 2], избрана от повърхностния елемент   е различна, получената плътност на циркулационната площ също се изменя. За да се покаже степента на въртене на векторното поле в близост до точка, трябва да се покаже неговата максимална възможна стойност и посоката, избрана от съответния сърфел. Завихрянето на векторно поле е вектор. Размерът на неговата проекция в една посока представлява размерът на повърхностната плътност на пръстена в тази посока. Тоест ротацията на   в една точка се записва като   или  : [4]

  .

Тук   се отнася до повърхностния елемент, чийто нормален вектор е единичният вектор   и има неговата посока, а   е граничната крива на елемента. Ако се представи от оператора набла  , ротацията на векторното поле   се записва  . Може да се види от дефиницията, че ротацията е свойство на интензитет на векторното поле, точно като плътност, концентрация и температура, и съответното му свойство на разширение е векторното поле по обиколката по затворена крива, така че извивката е повърхностната плътност на циркулацията. Ако извивката навсякъде във векторно поле е нула, полето се нарича иротационно поле или консервативно поле. [4]

Правоъгълна координатна системаРедактиране

Нека в триизмерната правоъгълна (декартова) координатна система   векторното поле   е

 

където   са единични вектори съответно в посоките на òсите  , ,   и компонентите на полето   имат непрекъснати частни производни от първи ред, тогава проекциите върху всяка координатна ос са:

 .

Векторът на ротацията се нарича още кривина на векторното поле   и се записва в основната форма

 

Изразът за ротацията може също да бъде изразен в детерминантна нотация:

 

Трябва да се отбележи, че нотацията на детерминантата тук има само формално значение, тъй като коефициентите в реалната детерминанта трябва да бъдат стойности вместо векторите  . Този метод на представяне е удобен само за запаметяване на израза за ротацията в декартовата координатна система. [6]

Цилиндрична координатна системаРедактиране

В цилиндричната координатна система позицията на обекта се определя от две линейни   и една ъглова   координати: напречните са  , а надлъжната е  . Те определят неговите единични вектори: напречен радиален  , напречен азимутален   и надлъжен  . Тогава векторът на полето   има компоненти   и може да се изрази като:

  ,

а ротацията (извивката) на векторното поле е [6]

  .

Сферична координатна системаРедактиране

В сферичната координатна система позицията на обекта се определя от една линейна   и две ъглови координати (азимут   и ъгъл на място  ). Те определят неговите единични вектори:  ,   и  . Векторът на полето   има компоненти   и може да се изрази като:

  .

Аналогично ротацията на векторното поле се определя от израза [6]

 

Източници и бележкиРедактиране

  1. David K. Cheng – Field and wave electromagnetics, Addison-Wesley publishing company, p. 49.
  2. Proceedings of the London Mathematical Society, March 9th, 1871. // Архивиран от оригинала на 2021-02-19. Посетен на 2019-06-25.
  3. Collected works of James MacCullagh
  4. а б в г 钟顺时 – 《电磁场基础》. 清华大学出版社有限公司. 2006. ISBN 9787302126126.
    (Чжун Шунши – „Основи на електромагнитното поле“, издателство на университет Цинхуа ООД, 2006 г., ISBN 9787302126126.)
  5. Обикновено, на равнината след тази точка, ограничената част, включваща точката, се избира като сърфел. За удобство на следващите дефиниции обикновено се приема, че граница на тази част е проста затворена насочена крива.
  6. а б в Roel Snieder – A Guided Tour of Mathematical Methods: For the Physical Sciences. Cambridge University Press, 2, 插图版, 修订版. 2004. ISBN 9780521834926 英语.