Уикипедия

Оператор на Д'Аламбер: Разлика между версии

Интерактивен преглед на историята
← По-стара редакцияПо-нова редакция →
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
ВизуаленУикитекст
м Ket премести страница „Оператор на д'Аламбер“ като „Оператор на Д'Аламбер“: Официален правописен речник БАН 2012, стр. 36 правило 32.3
м д'Аламбер -> Д'Аламбер (когато е самостоятелно) според Правописен речник БАН 2012, стр.36, т. 32.3
Ред 1:
В [[специалната теория на относителността]], [[електромагнетизма]] и теорията на [[вълни]]те, '''операторът на дД'Аламбер''' (обозначаван с кутийка: <math>\Box</math>), също наричан '''дД'Аламбертиан''' или '''вълнов оператор''', е [[лапласиан]] в [[Пространство на Минковски|пространството на Минковски]]. Операторът е наречен в чест на френския математик и физик [[Жан льо Рон д'Аламбер]].
 
В пространство на Минковски и в стандартни координати {{math|(''t'', ''x'', ''y'', ''z'')}} операторът има следната форма:
 
: <math>
Ред 18:
Някои автори също така използват отрицателната метрична сигнатура от {{nowrap|(− + + +)}}, с <math>g_{00} = -1,\; g_{11} = g_{22} = g_{33} = 1</math>.
 
[[Трансформации на Лоренц|Трансформациите на Лоренц]] оставят метриката на Минковски инвариантна, така че дД'Аламбертианът дава [[Лоренцов скалар]]. По-горният координатен израз остава валиден за стандартни координати във всяка инерционнаинерциална система.
 
== Алтернативна нотация ==
Има различни нотации за дД'Аламбертиана. Най-честото означение е със символа <math>\Box</math>: четирите страни на квадрата представляват четирите измерения на пространство-времето и <math>\Box^2</math>, който подчертава скаларното свойство. Символът понякога се нарича '''квабла''' (по аналогия с [[набла]]). Придържайки се към триъгълната нотация на лапласиана, понякога се използва и нотацията ∆<sub>''M''</sub>.
 
Друг начин за изписване на дД'Аламбертиана в стандартни координати е с ∂². Тази нотация се използва основно в [[Квантова теория на полето|квантовата теория на полето]], където [[Частна производна|частните производни]] обикновено се индексират.
 
== Приложение ==
[[Уравнение на вълната|УравнениетоВълновото на вълнатауравнение]] за малки вибрации има вида:
 
:<math> \Box_{c} u\left(x,t\right) \equiv u_{tt} - c^2u_{xx} = 0~,</math>
Ред 32:
където {{math| ''u''(''x,t'')}} е преместването.
 
УравнениетоВълновото на вълнатауравнение за електромагнитно поле във вакуум е:
 
:<math> \Box A^{\mu} = 0 </math>,
Ред 43:
 
== Функция на Грийн ==
[[Функция на Грийн|Функцията на Грийн]] <math>G\left(\tilde{x} - \tilde{x}'\right)</math> за дД'Аламбертиана е дефинирана от уравнението:
 
:<math> \Box G\left(\tilde{x} - \tilde{x}'\right) = \delta\left(\tilde{x} - \tilde{x}'\right)</math>
Ред 49:
където {{math|''δ''({{overset|~|''x''}}−{{overset|~|''x''}}')}} е многоизмерната [[делта функция на Дирак]], а {{overset|~|''x''}} и {{overset|~|''x''}}' са две точки в пространството на Минковски.
 
Специално решение се получава от ''забавената функция на Грийн'', която съответства на разпространението на [[сигнал]] само напред във времето:
 
:<math>G\left(\vec{r}, t\right) = \frac{1}{4\pi r} \Theta(t) \delta\left(t - \frac{r}{c}\right)~~~</math><ref>{{cite web|author=S. Siklos|title=The causal Green’s function for the wave equation|url=http://www.damtp.cam.ac.uk/user/stcs/courses/fcm/handouts/wave_equation.pdf|accessdate=17 август 2017}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161130174612/http://www.damtp.cam.ac.uk/user/stcs/courses/fcm/handouts/wave_equation.pdf |date=2016-11-30 }}</ref>,
Ред 56:
 
== Запис в криволинейни координати ==
Операторът на дД'Аламбер в [[сферични координати]]:
 
: <math>\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \Theta}\frac{\partial}{\partial \Theta}\left(\sin\Theta\frac{\partial u}{\partial\Theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\Theta}\frac{\partial^2 u}{\partial\varphi^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2};</math>
Взето от „https://bg.wikipedia.org/wiki/Оператор_на_Д%27Аламбер“.