Оператор на Д'Аламбер

В специалната теория на относителността, електромагнетизма и теорията на вълните, операторът на Д'Аламбер (обозначаван с кутийка: ), също наричан Д'Аламбертиан или вълнов оператор, е лапласиан в пространството на Минковски. Операторът е наречен в чест на френския математик и физик Жан льо Рон д'Аламбер.

В пространство на Минковски и в стандартни координати (t, x, y, z) операторът има следната форма:

Тук ∇² е триизмерен лапласиан, а gμν е обратната метрика на Минковски с

, , for .

Трябва да се отбележи, че показателите за сума на μ и ν са в диапазона от 0 до 3. Взети са такива единици предвид, че скоростта на светлината c = 1.

Някои автори също така използват отрицателната метрична сигнатура от (− + + +), с .

Трансформациите на Лоренц оставят метриката на Минковски инвариантна, така че Д'Аламбертианът дава Лоренцов скалар. По-горният координатен израз остава валиден за стандартни координати във всяка инерциална система.

Алтернативна нотацияРедактиране

Има различни нотации за Д'Аламбертиана. Най-честото означение е със символа  : четирите страни на квадрата представляват четирите измерения на пространство-времето и  , който подчертава скаларното свойство. Символът понякога се нарича квабла (по аналогия с набла). Придържайки се към триъгълната нотация на лапласиана, понякога се използва и нотацията ∆M.

Друг начин за изписване на Д'Аламбертиана в стандартни координати е с ∂². Тази нотация се използва основно в квантовата теория на полето, където частните производни обикновено се индексират.

ПриложениеРедактиране

Вълновото уравнение за малки вибрации има вида:

 

където u(x,t) е преместването.

Вълновото уравнение за електромагнитно поле във вакуум е:

 ,

където Aμ е електромагнитният 4-потенциал.

Уравнението на Клайн – Гордън има вида:

 .

Функция на ГрийнРедактиране

Функцията на Грийн   за Д'Аламбертиана е дефинирана от уравнението:

 

където δ(~x~x') е многоизмерната делта функция на Дирак, а ~x и ~x' са две точки в пространството на Минковски.

Специално решение се получава от забавената функция на Грийн, която съответства на разпространението на сигнал само напред във времето:

 [1],

където Θ е функцията на Хевисайд.

Запис в криволинейни координатиРедактиране

Операторът на Д'Аламбер в сферични координати:

 

в цилиндрични координати:

 

в общи криволинейни координати (за пространство-време):

 

където   е детерминанта на матрицата  , съставена от коефициентите на метричния тензор  .

Вижте същоРедактиране

ИзточнициРедактиране

  1. S. Siklos. The causal Green’s function for the wave equation. // Посетен на 17 август 2017. Архив на оригинала от 2016-11-30 в Wayback Machine.
    Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „d'Alembert operator“ и страницата „Оператор Д’Аламбера“ в Уикипедия на английски и руски език. Оригиналните текстове, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за творби създадени преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналните страници тук и тук, за да видите списъка на техните съавтори. ​

ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни.