|
== Видове триъгълници ==
В зависимост от дължините на страните си триъгълникът може да бъде:
* '''[[Равностранен триъгълник]]''' - когато дължинитеligaaaaa
* на трите страни са равни. В равностранните триъгълници ъглите също са равни (всеки от тях е 60°).
* '''[[Равнобедрен триъгълник]]''' - когато дължините на дведвgdsadasddsadsadе от страните са равни. Двете равни страни се наричат '''бедра''', а третата - '''основа'''. Този триъгълник има 2 равни ъгъла при основата.
* '''[[Разностранен триъгълник]]''' - когато всичките му страни са с различни дължини. Този триъгълник има три различни ъгъла.
Според големината на най-големия си вътрешенвътdasрешен ъгъл, триъгълникът може да бъде:
* '''[[Правоъгълен триъгълник]]''' е този триъгълниктриъsadsadasdгълник, който има ъгъл от 90°. Страната, срещулежаща на правия ъгъл, се нарича '''[[хипотенуза]]''' и е най-дългата страна във всеки правоъгъленправоъгъленdsad триъгълник. Другите две страни се наричат '''[[катети]]'''.
* '''[[Тъпоъгълен триъгълник]]''' е този триъгълниктрdasdsadasиъгълниasdddк, при който имавсички вътрешенвътрешни ъгъл,ъгли са по-голяммалки от 90°.as
* '''[[Остроъгълен триъгълник]]''' е този триъгълник, при който всички вътрешни ъгли са по-малки от 90°.
==Основни понятияпонятияd== ▼<table align="center">
<tr align="center">
<td>[[Image:Triangle.Right.svg|Правоъгълен триъгълник]]</td>
<td>[[Image:Triangle.Obtuse.svg|Тъпоъгълен триъгълник]]</td>
<td>[[Image:Triangle.Acute.svg|Остроъгълен триъгълник]]</td>
</tr>
<tr align="center">
<td>Правоъгълен</td><td>Тъпоъгълен</td><td>Остроъгълен</td>
</tr>
</table>
Стандартните означения в произволен триъгълник са дадени на следващия чертеж:
Основните понятия, свързани с триъгълниците, са представени от [[Евклид]] в книги 1-4 от „Елементите“ около 300 г.пр.н.е.
=== das ===
=== Неравенства в триъгълник ===
asdasdas
За страните на всеки триъгълник са изпълнени неравенствата:
* a < b + c,
* b < a + c,
=== Еднаквост на триъгълници ===
където ''R'' е радиуса на описаната около триъгълника окръжност. Синусовата теорема може да се използваДлзва, за да бъдат намерени другите две страни на триъглник, ако са известни два ъгъла и третата страна. ▼Два триъгълника са '''еднакви''', ако съответните им страни и ъгли са равни. Има четири признака за еднаквост на триъгълници:
1. Ако две страни и ъгъл заключен между тях на един триъгълник са съответнo равни на две страни и ъгъла заключен между тях от друг триъгълник, то триъгълниците са еднакви(по първи признак)
2. Ако два ъгъла и страна на един триъгълник са съответно равни на два ъгъла и страна на друг триъгълник, то триъгълниците са еднакви.
3. Ако трите страни на един триъгълник са съответно равни на трите страни на друг триъгълник, то триъгълниците са еднакви.
4. Ако две страни и ъгъл срещу по-голямата от тях в един триъгълник са съответно равни на две страни и ъгъл срещу по-голямата от тях в друг триъгълник, то триъгълниците са еднакви.
Съществува един често срещан частен случай на четвъртия признак:
: Ако катет и хипотенуза в триъгълник са съответно равни на катет и хипотенуза в друг триъгълник, то двата триъгълника са еднакви.
уточнение: Третият елемент е правият ъгъл.
=== Подобие на триъгълници ===
Два триъгълника са '''подобни''', ако ъглите на единия са равни на ъглите на другия и страните, които съединяват върховете на равните ъгли, са пропорционални. Има три признака за подобни триъгълници:
1. Ако два ъгъла от един триъгълник са равни на два ъгъла от друг триъгълник, то триъгълниците са подобни.
2. Ако две страни на един триъгълник са съответно пропорционални на две страни от друг триъгълник и ъглите, заключени между тези страни, са равни, то триъгълниците са подобни.
3. Ако страните на един триъгълник са пропорционални на страните на друг триъгълник, то триъгълниците са подобни.
=== Синусова и косинусова теорема ===
Косинусова теорема:
:'''<math>c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos\gamma.</math>'''
В този си вид тя е валидна за всички триъгълници (не само за правоъгълните). С нея могат да бъдат намерени всички страни и ъгли в един триъгълник, ако са известни три от страните или две от тях и ъгъла, сключен помежду им.
Синусова теорема:
: '''<math>\frac{a}{sin\alpha}=\frac{b}{sin\beta}=\frac{c}{sin\gamma}=2R,</math>'''
▲където ''R'' е радиуса на описаната около триъгълника окръжност. Синусовата теорема може да се използва, за да бъдат намерени другите две страни на триъглник, ако са известни два ъгъла и третата страна.
== Точки, прави и описани окръжности ==
*'''Описана около триъгълник окръжност''' се нарича тази окръжност, която минава и през трите му върха.
[[Картинка:Cercle circonscrit à un triangle.svg|мини|Правоъгълен, тъпоъгълен и остроъгълен триъгълник и описаните около тях окръжности]]
*'''[[Симетрала|Симетрали]]''' в триъгълник са правите линии, които са перпендикулярни на страните и минават през средите им. Трите симетрали се пресичат в точка, която е иasdasdasdasdasdasdasdaи център на описаната около триъгълника окръжност. Диаметърът на тази окръжност може да бъде намерен, като се използва синусовата теорема, посочена по-горе.
*'''[[Теорема на Талес|Теоремата на Талес]]''' гласи, че ако центърът на окръжността, описана около един триъгълник, лежи на една от страните на триъгълника, то срещуположният ъгъл на триъгълника е прав. Също така, ако центърът на описаната около триъгълника окръжност се намира във вътрешността на триъгълника, то триъгълникът е остроъгълен, а ако центърът е извън триъгълника, то триъгълникът е тъпоъгълен. ▼
[[Image:Triangle.Orthocenter.svg|frame|left|Пресечната точка на височините се нарича ортоцентър]]
*'''[[Височина (триъгълник)|Височини]]''' в триъгълника са перпендикулярите, спуснати от върховете на триъгълника към срещуположните страни. Трите височини на всеки триъгълник се пресичат в една точка, която се нарича '''ортоцентър'''. Ортоцентърът лежи вътре в триъгълника, само ако той не е тъпоъгълен. В противен случай ортоцентърът се намира извън триъгълника.
[[Image:Triangle.Incircle.svg|frame|right|Пресечната точка на ъглополовящите е център на вписаната в триъгълника окръжност]]
▲*'''[[Теорема на Талес|Теоремата на Талес]]''' гласи, че ако центърът на окръжността, описана около един триъгълник, лежи на една от страните на триъгълника, то срещуположниятсцентричната ъгълсистема на триъгълника е прав. Също така, ако центърът на описаната около триъгълника окръжност се намира във вътрешността на триъгълника, то триъгълникът е остроъгълен, а ако центърът е извън триъгълника, то триъгълникът е тъпоъгълен.
*'''[[Ъглополовяща|Ъглополовящи]]''' в един тръгълник са тези прави, които минават през върховете на ъглите, като ги разполовяват. Пресечната точка на трите ъглополовящи е център на '''вписаната''' в триъгълника окръжност. Вписана е тази окръжност, за която страните на описания около нея триъгълник са допирателни. Триъгълниците имат и три външно вписани окръжности, които лежат извън триъгълника. Центровете на вътрешно вписаната и външно вписаните окръжности формират ортоцентричната система на триъгълника.
<br clear=left>
[[Image:Triangle.Centroid.svg|frame|left|Медицентърът е центърът на тежестта]]
| 