Антисиметрична матрица

Антисиметрична матрица наричаме квадратна матрица $A(a_{ij})$, за която е изпълнено $a_{ij}=-a_{ji}$ за всеки $i,j.$

Например ${\begin{pmatrix}0&5&1\\-5&0&7\\-1&-7&0\end{pmatrix}}$.

Свойства

1. Рангът на всяка антисиметрична матрица е четен.
2. $A^{T}=-A$ (следва от $a_{ij}=-a_{ji}$)
3. Всички числа по главния диагонал са нули. ($a_{ii}=-a_{ii}\Rightarrow a_{ii}=0$)
4. Нека A е n-мерна антисиметрична матрица. Ако n е нечетно, то $det(A)=0$, а ако n е четно, $det(A)\geq 0$
5. За реални антисиметрични матрици ненулевите собствени стойности на матрицата са чисто имагинерни и следователно имат вида $\lambda _{1}i,-\lambda _{1}i,\lambda _{2}i,-\lambda _{2}i,\ldots$ където всички $\lambda _{k}$ са реални числа.
6. Всяка квадратна матрица A може да бъде представена като сума от симетрична и антисиметрична матрица както следва: $A={\frac {1}{2}}\left(A+A^{\mathsf {T}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(A-A^{\mathsf {T}}\right).$

Литература

• Константинов, М. М. Елементи на линейната алгебра: Вектори и матрици. С. Университет по архитектура, строителство и геодезия, 2000. с. 300.
• Harville, D. A. Matrix Algebra from Statistician’s Perspective. Softcover, 1997.
• Roman, St. Advanced Linear Algebra, second ed. Springer-Verlag, New York, 2005.

Тази статия, свързана с математика, все още е мъниче. Помогнете на Уикипедия, като я редактирате и разширите.