Степенуване (математика)

(пренасочване от Степен)

Степенуване или повдигане на степен е математическа операция, която изразява умножение на равни множители. Обозначението на степенуването е съкратен запис на произведението на равни множители.

Графики на четири функции от вида , е указано до всяка графика

Математическо определение

редактиране

Умножението на n на брой равни множителя a, където n е естествено число, се нарича повдигане на основа a на степен n или стeпенуване. Произведението се записва като an:

 

Изразът   се чете пет на трета (степен) или пет на степен три. Първите две степени, на втора и на трета, се наричат съответно още на квадрат и на куб. Така  може да се прочете като пет на квадрат. Числата, получени при повдигането на квадрат на цяло число, се наричат точни квадрати. [1]

Когато се работи с числа, обикновено се опростява: например 27 вместо , но когато се работи с променливи, се използва   вместо  .

Обратни действия на степенуването са коренуване и логаритмуване. При коренуването по известни резултат от степенуването и степенен показател (степен) се определя основата. При логаритмуването по известни резултат от степенуването и основа се определя степенният показател (степента).
Степенуване:  
Коренуване:  
Логаритмуване:  

Следствия

редактиране
  • Число, повдигнато на степен 1, си остава същото:  .
  • Число, повдигнато на степен 0 е равно на 1:   при  
    (при   изразът   е неопределеност [2]).
  • Число, повдигнато на степен -1 е равно на реципрочното му:   при  .
  • Число, повдигнато на степен 1/n е равно на неговия n-ти корен:  .
    • Число, повдигнато на степен 1/2 е равно на неговия квадратен корен:  .
    • Число, повдигнато на степен 1/3 е равно на неговия кубичен корен:  .
  • При повдигане на число, различно от 0, на произволна степен резултатът винаги е различен от 0.
  • При повдигане на число на четна степен, резултатът винаги е положително число.
  • Сборът на всички степени на числото 2 плюс 1 е равен на следващата степен на 2: 1 + 20 + 21...+2n = 2n+1 (за всяко цяло число n≥0).

Правила при степенуването

редактиране

При степенуването може да се използват следните правила, за да се опростят математически изрази включващи степенуване.

За да се опрости израза, трябва да се замени с това, което той означава. На трета степен означава да се умножат три еднакви множителя, на четвъртада се умножат четири еднакви множителя. Използвайки това, може да се разшири изразът и след това да се опрости:

 

Следователно   е равно на  .

Първо правило

редактиране

Умножение на степенни изрази с равни основи може да се представи като основа със степенен показател равен на сумата от степенните показатели, както в израза:

 

Нe може да се прилага това правило при изрази с различни основи. Например изразът   не може да се опрости, защото   – и не е възможно комбинирането.

Второ правило

редактиране

Използвайки същата логика, може да се замести изразът   с неговото значение – „на четвърта“ означава да се умножат четири равни множителя  .

 .

Отново резултатът   е равен на  

В това се заключава правилото, че степенен израз повдигнат на степен може да се замени с израз, при който основата е повдигната на степен, равна на произведението от стeпeнните показатели, както в израза

 .

Трето правило

редактиране

При степенуване на произведение в скоби (хy)3, то степента се прилага върху всеки множител от скобите:

 .

И още един пример:

 .

Погрешно ще бъде прилагането на това правило, ако в скобите е записана сума или разлика, например:

  не може да стане , защото резултатът е грешен. Правилното изчисление е  .

По-добре е да се запише според това, че „на квадрат“ означава сумата или разликата да се умножи веднъж сама по себе си, така че  . Това е част от т.нар. формули за съкратено умножение.

Отрицателни степенни показатели

редактиране

Отрицателният степенен показател показва, че основата е сложена от другата страна на дробната черта и за да стане с положителна стойност, изразът трябва да се премести от другата страна. Например в израза   (хикс на минус втора) x е поставен в числителя   вместо в знаменателя, което е равно на  .

Още няколко примера, превръщащи отрицателната степен в положително число:

 

 
 

Забележително е, че множителят 2 не се мести заедно с променливата x, защото само тя е на степен –1.

 

За разлика от предния пример, тук скобите показват, че отрицателната степен трябва да се приложи и върху числото 3 в скобите, както и върху променливата.

 

Същото може да се реши и така:

 

Тъй като степените означават умножение, а при умножение редът на множителите е без значение, често има повече от един начин за валидно опростяване на даден израз. Начинът е без значение стига стъпките да са правилни и да водят до един и същи отговор.

Дробни (рационални) степени

редактиране

Дробно число, използвано за степенен показател се ползва и при обратното действие на степенуване – коренуване, като числителят е степенният показател, а знаменателят е коренът, например:

 

Еднаквите стойности на корен и степенен показател се анулират взаимно и резултатът не се променя. Например:

 
 

Освен тази има и още една зависимост (която между другото прави изчисления подобни на горното много по-лесни): корен квадратен или корен втори от дадено число може да се представи като степенуване с реципрочна стойност.

 

или

 

Съответно корен 3 и 4 и т.н. стават:

 
 

Така горните примери може да се запишат по следния начин:

 
 

Ако се използва калкулатор, дробният степенен показател трябва да се сложи в скоби, напр.   трябва да стане  , защото иначе калкулаторът ще приеме, че е въведено  .

Дробните степени позволяват по-голяма гъвкавост (което може да се види при много изчисления) и е по-лесно да се запише отколкото еквивалентния формат, като позволява изчисления, които иначе са невъзможни. Например:

 

Някои степени под формата на десетична дроб, могат да се пренапишат така, че да станат обикновена дроб:

 

Като цяло обаче при десетичната степенна дроб (нещо различно от обикновена дроб или цяло число), трябва да го оставим така както е или ако е необходимо да се изчисли с калкулатор. Например 3π, където π е приблизително равно на 3,14159, не може да бъде опростено.

Вижте също

редактиране

Външни препратки

редактиране

Източници и бележки

редактиране
  1. Математическая энциклопедия (в 5 томах). т. 5, Степень. М., Советская Энциклопедия, 1985. с. 221. (на руски)
  2. Случаят   е противоречив. Следните граници показват, че изразът   е неопределена форма: