Отваря главното меню

Степенуване (математика)

Математическо определениеРедактиране

Произведението от n на брой равни множители a, където n е естествено число, се записва като an и се нарича степенуване на основа a на степен n. Целият този процес се нарича повдигане на степен или стeпенуване. Изразът   се чете пет на трета (степен) или пет на степен три. Първите две степени, на втора и на трета, се наричат още на квадрат и на куб. Така  може да се прочете като пет на квадрат.

Когато работим с числа обикновено ги опростяваме: използваме 27 вместо , но когато работим с променливи използваме  вместо  .

СледствияРедактиране

Число, повдигнато на степен 1, си остава същото ( ).

Число, повдигнато на степен 0 е равно на 1 ( ).

Число, повдигнато на степен -1 е равно на реципрочното му (  при  ).

Число, повдигнато на степен 1/2 е равно на неговия корен квадратен ( ).

При повдигане на число, различно от 0, на произволна степен резултатът винаги е различен от 0.

ПравилаРедактиране

При степенуването може да се използват следните правила, за да се опростят математически изрази включващи степенуване.

За да се опрости израза, трябва да заменим с това, което той означава. На трета означава да умножим три пъти, на четвъртада умножим четири пъти. Използвайки това може да се разшири израза и след това да се опрости.

 

Следователно   е равно на  .

  • Първото правило при степенуването:

Умножение на степенни изрази с еднаква база може да се представи като база със степенен показател равен на сумата от степенните показатели, както в израза:

 

Нe може да се прилага това правило при изрази с различни бази. Например изразът   не може да се опрости, защото   – и не е възможно комбинирането.

  • Второто правилото при степенуването:

Използвайки същата логика може да се замести израза   с неговото значение - "на четвърта" означава да се умножи четири пъти  .

 .

Отново резултатът   е равен на  

В това се заключава правилото, че степенен израз повдигнат на степен може да се замени с израз, при който базата е повдигната на степен равна на произведението от стeпeнните показатели както в израза.

 .
  • Трето правило при степенуването:

При степенуване на произведение в скоби (хy)3, то степента се прилага върху всеки множител от скобите:

 .

И още един пример:

 .

Погрешно ще бъде прилагането на това правило, ако в скобите е записана сума или разлика, например:

  не може да стане , защото резултатът е грешен. Правилното изчисление е  .

По-добре е да се запише според това, че "на квадрат" означава сумата или разликата да се умножи веднъж сама по себе си, така че  . Това е част от т.нар. формули за съкратено умножение.

Отрицателни степенни показателиРедактиране

Отрицателният степенен показател показва, че базата е сложена от другата страна спрямо дробната черта и за да стане с положителна стойност изразът трябва да се премести от другата страна. Например в израза   (хикс на минус втора) x е поставен в числителя   вместо в знаменателя, което е равно на  .

Още няколко примера, превръщащи отрицателната степен в положително число:

 

 
 

Забележете, че множителят 2 не се мести заедно с променливата x.

 

За разлика от предния пример, тук скобите показват, че отрицателната степен трябва да се приложи и върху числото 3 в скобите, както и върху променливата.

 

Същото може да се реши и така:

 

Тъй като степените означават умножение, а при умножение редът на множителите е без значение, често има повече от един начин за валидно опростяване на даден израз. Начинът е без значение стига стъпките да са правилни и да водят до един и същи отговор.

Дробни (рационални) степениРедактиране

Дробно число, използвано за степенен показател се ползва и при обратното действие на степенуване – коренуване, като числителят е степенният показател, а знаменателят е коренът, например:

 

Еднаквите стойности на корен и степенен показател се анулират един друг и резултатът не се променя. Например:

 
 

Освен тази има и още една зависимост (която между другото прави изчисления подобни на горното много по-лесни): корен квадратен или корен втори от дадено число може да се представи като степенуване с реципрочна стойност.

 

или

 

Съответно корен 3 и 4 и т.н. стават:

 
 

Така горните примери можем да запишем по следния начин:

 
 

Ако се използва калкулатор, дробният степенен показател трябва да се сложи в скоби, напр.   трябва да стане  , защото иначе калкулаторът ще приеме, че е въведено  .

Дробните степени позволяват по-голяма гъвкавост (което може да се види при много изчисления) и е по-лесно да се запише отколкото еквивалентния формат, като позволява изчисления, които иначе са невъзможни. Например:

 

Някои степени под формата на десетична дроб, могат да се пренапишат така, че да станат обикновена дроб:

 

Като цяло обаче при десетичната степенна дроб (нещо различно от обикновена дроб или цяло число), трябва да го оставим така както е или ако е необходимо да го изчислим с калкулатор. Например 3π, където π е приблизително равно на 3,14159, не може да бъде опростено.

Външни препраткиРедактиране