Теореми на Грийн

В математиката и по-специално във векторния анализ формулите на Грийн (наричани още теореми, закони, изрази или идентичности на Грийн) представляват по-специално приложение на теоремата на Гаус-Остроградски (теорема за дивергенцията). Те са именувани на математика Джордж Грийн. Намират приложение в електростатиката при изчисление на електрически потенциали.

В по-долните разглеждания пространствената тримерна (n-мерна) област $V\subset \mathbb {R} ^{n}$ е компактно множество с частично гладка гранична повърхност и $\phi$ и $\psi$ са две функции дефинирани в $V$, при което $\phi$ и $\psi$ са двойно-непрекъснати и диференцируеми. $\nabla$ е оператор набла.

Първи израз на Грийн

$\int _{V}(\phi \nabla ^{2}\psi +\nabla \phi \nabla \psi )dV=\oint _{A}\phi {\frac {\partial \psi }{\partial n}}dA$,

при което $A$ е повърхността заграждаща обема $V$, ${\frac {\partial \psi }{\partial n}}=\nabla \psi \cdot {\vec {n}}$, a ${\vec {n}}$ е нормалата излизаща от елемента площ $dA$.

При $\phi =\psi$ израза придобива следния вид:

$\int _{V}(\phi \nabla ^{2}\phi +(\nabla \phi )^{2})dV=\oint _{A}\phi {\frac {\partial \phi }{\partial n}}dA$,

Втори израз на Грийн

$\int _{V}(\psi \nabla ^{2}\phi -\phi \nabla ^{2}\psi )dV=\oint _{A}(\psi {\frac {\partial \phi }{\partial n}}-\phi {\frac {\partial \psi }{\partial n}})dA$

Вижте също

Функция на Грийн

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата Greensche Formeln в Уикипедия на немски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите. ​ ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни.​