В математиката, функция на Грийн (по името на Джордж Грийн (1793 – 1841), английски математик) е функция, която се използва за решаване на нехомогенни диференциални уравнения при определени (зададени) гранични условия. Функцията се използва за преобразуване на частното диференциално уравнение в интегрално уравнение. Тя се получава от линейна задача с гранични стойности и представлява основната връзка между диференциалната и интегрална формулировки. Функцията се използва във физиката и по-специално в квантовата теория на полето, както и в електротехниката за задачи свързани с електромагнитното поле.
Функцията на Грийн осигурява метод за преформулиране на израза за източник (нехомогенността)
от диференциалното уравнение:
.
където
е линеен (диференциален) оператор – например
, а
е неизвестната функция (величина). Например ако е дадена задачата на Дирихле:
в област
на границата на областта
:
,
то тя се преформулира по следния начин:
където
е сочещата навън от граничната повърхност
нормала,
е обема на източника, a
е функцията на Грийн. Както се вижда ако функцията
е известна ще се получи и решение за
. Задачата се предефинира като намиране на Грийн функцията за конкретния случай. Дефинира се функция, която удовлетворява равенството:
,
където
и
са векторите на местоположението на точките на търсената величина (x,y,z) и съответно на източника (x',y',z'), a
е делта функцията на Дирак (импулсна функция), която изчезва (приема стойност нула) при
и удовлетворява равенството:
Функция на Грийн в свободното пространство
Операторно уравнение |
Уравнение на Лаплас |
Квазистационарно уравнение на Хелмхолц |
Вълново уравнение на Хелмхолц
|
Решение |
 |
 |
|
Област |
 |
 |
|
Едномерна |
няма решение за (-∞,∞) |
 |
|
Двумерна |
 |
 |
|
Тримерна |
 |
 |
|
Вълновото уравнение има времеви множител
, такъв, че
.