Теория на наредбите

Теория на подредбите или теория на наредбите е дял от математиката, в който се изучават различните бинарни релации - множествата от наредени двойки от елементи на дадено множество. Теорията предоставя средствата нужни за изучаването на привидно ясното понятие подредба (отношение на подредба). Да се установи кога един елемент предхожда друг или е по-малък е не винаги възможно (напр. множеството на комплексните числа). Важността на теорията бихме могли да илюстрираме с факта, че дори елементарни конструкции като неравенствата, познати от началното училище, не биха били възможни без понятието подредба.

Широко разпространени са също частичните подредби, (напр. съвпаденията по модул) при които липсва пълнота на подредбата, т.е. за два елемента $x,y\,$ на частично нареденото множество не винаги е изпълнена алтернативата: $x\leq y$ или $y\leq x$. Добра подредба е налице когато наредбата е пълна и допълнително всяко непразно подмножество притежава най-малък елемент относно тази наредба. Съгласно теоремата на Цермело всяко непразно множество може да се снабди с добра подредба.

Въпреки важността си за останалите дялове на математиката, едва след 19 век се появяват трудове които може да бъдат отнесени към тази теория. Джордж Бул, Рихард Дедекинд и Ърнст Шрьодер работят по някои от основните понятия. През 1940 Гарет Биркхоф публикува Теория на решетките, където отделя значително внимание на различни наредби.

Лема на Цорн

Нека $S\,$ е частично наредено множество. Верига в $S\,$ е подмножество $K\subset S$, в което $\forall x,y\in K$ е изпълнено $x\leq y$ или $y\leq x$. Горна граница (мажоранта или супремум) за веригата $K\,$ в множеството $S\,$ е такъв елемент $s\in S$, че $k\leq s,\forall k\in K$. В множеството $S\,$ съществува максимален елемент $m\,$, ако е изпълнено: $m\leq x\Rightarrow m=x,\,\forall x\in S$.

Лема на Цорн: Всяко частично нареденото множество $S\,$, в което всяка верига има горна граница, притежава максимален елемент.

Лемата е известна още и като лема на Куратовски–Цорн, в чест на Кажимеш Куратовски и Макс Цорн. Тя е еквивалентна на теоремата на Цермело и аксиомата за избора.

Литература

• Birkhoff, G. (1940) Lattice Theory, Providence, RI: AMS.
• Davey, B.A. & Priestley, H.A. (1990) Introduction to Lattices and Order, Cambridge: Cambridge University Press.

Тази статия, свързана с математика, все още е мъниче. Помогнете на Уикипедия, като я редактирате и разширите.