Уравнението на Лаплас е частно диференциално уравнение от втори ред, кръстено в чест на Пиер-Симон Лаплас , който първи изучава свойствата му. Обикновено, то се записва във вида:
∇
2
f
=
0
или
Δ
f
=
0
,
{\displaystyle \nabla ^{2}f=0\qquad {\mbox{или}}\qquad \Delta f=0,}
където
Δ
=
∇
⋅
∇
=
∇
2
{\displaystyle \Delta =\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}}
оператор на Лаплас ,
∇
⋅
{\displaystyle \nabla \cdot }
дивергенция ,
∇
{\displaystyle \nabla }
градиент , а
f
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle f(x,y,z)}
реална функция. По този начин операторът на Лаплас съотнася една скаларна функция към друга скаларна функция.
Ако дясната страна на уравнението е вече известна функция,
h
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle h(x,y,z)}
Δ
f
=
h
.
{\displaystyle \Delta f=h.}
Този общ случай е известен като уравнение на Поасон . Уравненията на Лаплас и на Поасон са най-простите примери за елиптични частни диференциални уравнения. Всъщност, уравнението на Лаплас е частен случай на уравнението на Хелмхолц .
Общата теория от решения на уравнението на Лаплас, се нарича теория на потенциала . Решенията на уравнението са хармонични функции ,[1] електростатиката , гравитацията и динамиката на флуидите . В областта на топлопроводимостта , уравнението на Лаплас е уравнение на топлопроводимостта в стационарно състояние.[2]
Вид в различни координатни системи
редактиране
В Декартови координати :[3]
Δ
f
=
∂
2
f
∂
x
2
+
∂
2
f
∂
y
2
+
∂
2
f
∂
z
2
=
0.
{\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}=0.}
В цилиндрични координати :[3]
Δ
f
=
1
r
∂
∂
r
(
r
∂
f
∂
r
)
+
1
r
2
∂
2
f
∂
ϕ
2
+
∂
2
f
∂
z
2
=
0.
{\displaystyle \Delta f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}=0.}
В сферични координати , използвайки конвенцията
(
r
,
θ
,
φ
)
{\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}
[3]
Δ
f
=
1
r
2
∂
∂
r
(
r
2
∂
f
∂
r
)
+
1
r
2
sin
θ
∂
∂
θ
(
sin
θ
∂
f
∂
θ
)
+
1
r
2
sin
2
θ
∂
2
f
∂
φ
2
=
0.
{\displaystyle \Delta f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}=0.}
По-общо, в криволинейни координати :
Δ
f
=
∂
∂
ξ
j
(
∂
f
∂
ξ
k
g
k
j
)
+
∂
f
∂
ξ
j
g
j
m
Γ
m
n
n
=
0
,
{\displaystyle \Delta f={\frac {\partial }{\partial \xi ^{j}}}\left({\frac {\partial f}{\partial \xi ^{k}}}g^{kj}\right)+{\frac {\partial f}{\partial \xi ^{j}}}g^{jm}\Gamma _{mn}^{n}=0,}
или
Δ
f
=
1
|
g
|
∂
∂
ξ
i
(
|
g
|
g
i
j
∂
f
∂
ξ
j
)
=
0
,
(
g
=
d
e
t
{
g
i
j
}
)
.
{\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{i}}}\!\left({\sqrt {|g|}}g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial \xi ^{j}}}\right)=0,\qquad (g=\mathrm {det} \{g_{ij}\}).}
↑ Stewart, James. Calculus : Early Transcendentals ISBN 978-0-538-49790-9 .
↑ Zill, Dennis G, and Michael R Cullen. Differential Equations with Boundary-Value Problems . 8th edition / ed., Brooks/Cole, Cengage Learning, 2013. Chapter 12: Boundary-value Problems in Rectangular Coordinates. p. 462. ISBN 978-1-111-82706-9 .
↑ а б в Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics ISBN 978-1-108-42041-9 .
