Уравнение на Поасон

Уравнението на Поасон е частно диференциално уравнение от елиптичен тип с широко приложение в машиностроенето и теретичната физика. То е полезно, например, при описване на потенциално поле, предизвикано от определен заряд или разпределение на плътността на масата. С известно потенциално поле става възможно да се изчисли гравитационното или електростатичното поле.

Уравнението представлява общ случай на уравнението на Лаплас, което също има широко приложение във физиката. Уравнение е кръстено в чест на френския математик Симеон Дени Поасон.

Същност

Уравнението на Поасон е:

$\Delta \varphi =f$

където $\Delta$ е оператор на Лаплас, а $f$ и $\varphi$ са реални или комплексни функции върху в дадено многообразие. Обикновено, $f$ е дадено, а се търси $\varphi$. Когато многообразието е Евклидово пространство, операторът на Лаплас чест се обозначава с ∇², поради което уравнението на Поасон често се записва така:

$\nabla ^{2}\varphi =f.$

В тримерни Декартови координати, то приема вида:

$\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).$

Когато $f=0$, се получава уравнението на Лаплас.

Уравнението на Поасон може да се реши и с функция на Грийн:

$\varphi (\mathbf {r} )=-\iiint {\frac {f(\mathbf {r} ')}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\!r',$

където интегралът обхваща цялото пространство. Съществуват различни методи за числено решение.