Отваря главното меню

В математиката Формулата на Моавър се отнася за всяко едно комплексно число (следователно и за всички реални числа) x и степенен показател n и гласи, че:

където i е имагинерно число, за което i2 = −1. Формулата е кръстена на френския математик Абрахам дьо Моавър. Изразът cos(x) + i sin(x) може да се изписва и като cis(x).

Формулата свързва комплексните числа с тригонометричните функции. Чрез разкриване на лявата страна на равенството и след сравняване на реалните и имагинерните части при предположението, че х е реално, могат да бъдат изразени cos(nx) и sin(nx) чрез cos(x) и sin(x).

ДоказателствоРедактиране

Формулата на Моавър може да бъде доказана чрез формулата на Ойлер, макар и хронологически да е измислена по-рано:

 

и чрез свойството на степените:

 

Тогава, по формулата на Ойлер:

 
Следователно  

Коренуване на комплексни числаРедактиране

Формулата на Моавър може да бъде използвана за намирането на корен n-ти от някакво комплексно число.

Ако z е комплексно число, то тогава то може да бъде записано като:

 

Тогава корен n-ти от z се изчислява като:

 

Където k е число между 0 и n − 1.

Тази формула понякога също е наричана формула на Моавър.

ИзточнициРедактиране

  • Учебник по математика за 12 клас за профилирана подготовка, издателство „Просвета“.