Хаусдорфово пространство

Хаусдорфовото пространство, или T₂-пространство, или отделимо пространство, е топологично пространство, в което всеки две различни точки могат да се отделят една от друга посредством непресичащи се околности. Голяма част от пространствата изучавани в математиката (и най-вече в топологията) са хаусдорфови.

Формално определение

Множество от елементи (точки) $X\,$, снабдено с топологична структура — на всеки елемент $x\in X$ се съпоставя система ${\mathfrak {U}}_{x}$ от подмножества (околности на $x\,$) $U\,$, удоволетворяващи аксиомите на Хаусдорф за топологично пространство:

• $x\in U\,$ за всяка околност $U\in {\mathfrak {U}}_{x}$
• $U\in {\mathfrak {U}}_{x}$ и $U\subseteq V\Rightarrow V\in {\mathfrak {U}}_{x}$
• $U_{1},U_{2}\in {\mathfrak {U}}_{x}\Rightarrow U_{1}\cap U_{2}\in {\mathfrak {U}}_{x}$
• $\forall U\in {\mathfrak {U}}_{x},\,\exists V\in {\mathfrak {U}}_{x}:U\in {\mathfrak {U}}_{y},\forall y\in V$

Ако допълнително е удоволетворена и аксиомата на Хаусдорф за отделимост

• $\forall x,y\,(x\neq y)\in X,\,\exists U\in {\mathfrak {U}}_{x},V\in {\mathfrak {U}}_{y}:U\cap V=\varnothing$,

то пространството $X\,$ е хаусдорфово пространство, наречено на немския математик Феликс Хаусдорф.