Верижна дроб или продължаваща дроб в математиката в общия случай означава израз от вида

или в обикновения случай при

където е цяло число , а останалите и са положителни цели числа за . Числата и се наричат елементи на верижната дроб.[1] Дробите и се наричат ​​частични дроби, се нарича -ти частичен числител и се нарича -ти частичен знаменател.[2] Частичните числители и частичните знаменатели също се наричат ​​елементи на продължаващата дроб (след Оскар Перон, 1975).[3]

Всяко реално число може да бъде представено във вид на верижна дроб (крайна или безкрайна). Числото представлява крайна верижна дроб тогава и само тогава, когато то е рационално. Безкрайната верижна дроб се нарича още непрекъсната дроб.

Главната (но не единствена) полза от верижните дроби се състои в това, че те позволяват да се намерят добри приближения на реални числа във вид на обикновени дроби.[1] Верижните дроби се използват широко в теорията на числата и изчислителната математика. Използват се също така във физиката, небесната механика, техниката и други сфери. нотация

Обозначаване редактиране

Нотации редактиране

Използват се различни нотации за обозначаване на верижни дроби.

Съкратеното обозначаване на обща верижна дроб е

 

Въз основа на символите за сума   и произведение  , Гаус също въвежда следната нотация за това:

 

Правилната верижна дроб често се записва по следния начин: [4]

 

тук само   е посочен отделно, защото е от  , но следващите   са винаги само от  .

Обозначаването на крайни непрекъснати дроби е съответно

 

Представяне като композиция от образи редактиране

Продължаващата дроб може също да се представи като композиция от образи  . Това дава по-формално определение от даденото по-рано.

За да се направи това, задава се   и се взема

 

Дефиницията на безкрайни последователни дроби се прави чрез разглеждане на граничните стойности в раздела Безкрайни последователни дроби.

Образуване редактиране

Верижната дроб се образува чрез итеративен процес на представяне на число като сбор от неговата цяла част и реципрочна стойност на друго число, след което записването на това друго число като сума от неговата цяла част и друга реципрочна стойност, и така нататък.[5] В крайна верижна дроб (или прекратена продължителна дроб) итерацията/рекурсията се прекратява след ограничен брой стъпки чрез използване на цяло число вместо друга верижна дроб. При безкрайната верижна дроб този процес продължава и тя е безкраен израз. И в двата случая всички цели числа в редицата, различни от първото, трябва да са положителни.[6]

Всяко реално число   може да бъде представено чрез (крайна или безкрайна, периодична или непериодична) верижна дроб  , където

 
 
 
 
 

долните скобки   обозначават цялата част на числото  .

За рационално число   това разширение завършва, когато   достигне нула за някои  . В този случай   е представено от крайна продължителна дроб  . Един ефективен алгоритъм за преобразуване на обикновена дроб в непрекъсната дроб е алгоритъмът на Евклид. Представянето на рационално число като непрекъсната дроб е двусмислено: ако алгоритъмът, даден тук, дава непрекъснатата дроб  , тогава верижната дроб   съответства на същото число.

Като пример се разглежда рационалното число 415/93, което е около 4,4624. Като първо приближение се започва с 4, което е цяло число; 415/93 = 4 + 43/93. Дробната част е реципрочната на 93/43, което е около 2,1628. Използва се цялата част 2 като приближение за реципрочната стойност, за да се получи второ приближение на 4 + 1/2 = 4,5. Сега 93/43 = 2 + 7/43; останалата дробна част 7/43 е реципрочната стойност на 43/7, а 43/7 е около 6,1429. Използва се 6 като приближение за да се получи 2 + 1/6 като приближение за 93/43 и 4 + 12 + 16, около 4,4615, като трето приближение. Освен това, 43/7 = 6 + 1/7. И накрая, дробната част, 1/7, е реципрочната на 7, така че нейното приближение в тази схема 7 е точно (7/1 = 7 + 0/1) и дава точния израз 4 + 12 + 16 + 17 за 415/93.

Подходящи дроби редактиране

 -та подходяща дроб за верижната дроб   се нарича крайна продължителна дроб  , чиято стойност е някакво рационално число  . Подходящите дроби с четни номера образуват нарастваща последователност, чиято граница е  . По същия начин подходящите дроби с нечетни номера образуват намаляваща последователност, чиято граница също е  . По този начин стойността на верижната дроб винаги е между стойностите на съседни подходящи дроби.

Ойлер е извел следните рекурентни формули за изчисляване на числителите и знаменателите на подходящи дроби:

 
 

По този начин величините   и   са многочлени от  , наречени континуанти[7]:

 
 

Последователностите както на числителите  , така и на знаменателите   на подходящи дроби са строго нарастващи.

Числителите и знаменателите на съседни подходящи дроби са свързани с отношението

 
Подходящи дроби за златното сечение

 

 

 

 

 

(1)

От тук се вижда, че подходящите дроби винаги са несъкратими. Разделя се равенство (1) на   и то добива вида

 

От това следва, че [8]

 

Изображението показва как подходящи дроби за златното сечение се доближават до него с увеличаване на номера на дробта. Дробите с нечетни номера се доближават до златното сечение отгоре, дробите с четни номера се доближават до него отдолу.

Източници и бележки редактиране

  1. а б Regular Continued Fraction, Wolfram Mathematics.
  2. В част от литературата   и   често се разменят, така че частичните знаменатели са  .
  3. Oskar Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen. Band I: Elementare Kettenbrüche. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1977, S. 1.
  4. Освен посочените тук изписвания има и   (например в „John Horton Conway, Richard Kenneth Guy – The book of numbers. Springer, 1996“),   (z. B. im Buch von Niven/Zuckerman) както и   (z. B. в „Donald Knuth – The Art of Computer Programming. (Band 2), Addison-Wesley, 1997“).
  5. Encyclopaedia Britannica 2013.
  6. Pettofrezzo Byrkit, с. 150.
  7. Континуанта е определен многочлен от няколко променливи, свързани с верижни дроби.
  8. Виноградов 1952, с. 18.