Епитрохоида

В геометрията епитрохоида е равнинна трансцендентна крива, описана от точка фиксирана спрямо окръжност, която се търкаля по външната страна на друга, направляваща, окръжност.

Класификация и уравнение

Фиксирането на точката спрямо търкалящата се окръжност става с прекарване на отсечка, която свързва точката с центъра на окръжността. Взимат се под внимание два параметъра: d – дължината на получената отсечка и r – радиус на търкалящата се окръжност. В зависимост от отношението между тях разглеждаме:

• скъсена епитрохоида – при d < r, т.е. когато точката е вътрешна за окръжността;
• епициклоида – при d = r, т.е. когато точката принадлежи на окръжността;
• удължена епитрохоида – при d > r, т.е. когато точката е външна за окръжността.

Нека използваме горните означения, като ще добавим само R – радиус на направляващата окръжност. Тогава параметричните уравнения на епитрохоидата са:

${\begin{cases}x(\theta )=(R+r)\cos \theta -d\ cos({\frac {R+r}{r}}\theta )\\y(\theta )=(R+r)\sin \theta -d\ sin({\frac {R+r}{r}}\theta )\end{cases}}$,

където $\theta$ е ъгълът, образуван от абсцисната ос и правата свързваща центровете на двете окръжности.

Приложение

Приложение на епитрохоидата във ванкеловия двигател

Техническо приложение епитрохоидата има в случая, когато R : r = 2 и d : r = 2 : 3. Това е формата на цилиндъра в моторите с роторно бутало, например на ванкеловия двигател, а обвивката на кривата определя формата на роторното бутало.

Вижте също

• Епициклоида
• Трохоида
• Хипотрохоида
• Циклоида

Източници

• „Лексикон Математика“, Георги Симитчиев, Георги Чобанов, Иван Чобанов, ИК Абагар, София, 1995, ISBN 954-584-146-Х
• „Физико-математическа и техническа енциклопедия“, Издателство на БАН, София, 1990
• „Математически енциклопедичен речник“, В. Гелерт, Х. Кестнер, З. Нойбер, ДИ Наука и изкуство, София, 1983

Външни препратки

• Страница за епитрохоидата на сайта на Система Mathematica
• Java аплет, изобразяващ епитрохоидата интерактивно Архив на оригинала от 2006-09-17 в Wayback Machine.