Конволюция

Конволюция (от лат. convolutus, pp. от convolvere – оплитам, усуквам) между две функции се нарича интегралът

$s(t)=f(t)*g(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t-\tau )g(\tau ){\rm {d}}\tau$,

където $f\,$ и $g\,$ са функции, интегрируеми в интервала $\{+\infty ,-\infty \}$, а знакът $*\,$ бележи конволюция.

Конволюцията се среща често, когато се използва преобразование на Фурие, тъй като при преобразование на Фурие произведението на две функции се трансформира в конволюция на индивидуалните трансформации на двете функции. С други думи ако ${\hat {f}}\,$ и ${\hat {g}}\,$ образите на функциите $f\,$ и $g\,$, то за трансформацията на тяхното произведение е в сила следното равенство

${\widehat {f\cdot g}}={\hat {f}}*{\hat {g}}.$

Конволюцията може да бъде както между функции на една променлива, така и между функции на няколко променливи. Тогава за всяка променлива $\tau _{i}\,$ се въвежда съответно отместване $t_{i}\,$ и се интегрира по всяка променлива ${\rm {d}}\tau _{i}\,$. Например за функции на две променливи пълната конволюция е

$f(x,y)*g(x,y)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x-\xi ,y-\zeta )g(\xi ,\zeta ){\rm {d}}\xi {\rm {d}}\zeta$

Интерпретация

Конволюция на две правоъгълни функции

За интуитивно разбиране на същността на конволюцията помага следната интерпретация. Едната функция, например $f\,$ се инвертира ($f(x)\rightarrow f(-x)$) и се отмества спрямо другата на отстояние $t\,$ и се изчислява определения интеграл от произведението между отместената и неотместената функция. Резултатът е стойността на конволюцията за даденото отместване между двете функции. За различна стойност на отместването $t\,$ конволюцията има различна стойност, т.е. конволюцията е функция на отместването.

На графиката е дадена за пример конволюцията между две правоъгълни функции, зададени чрез

$f(t)=g(t)={\begin{cases}1\quad t\in [-0,5;0,5]\\0\quad t\notin [-0,5;0,5]\end{cases}}.$

Когато отместването между двете функции е под -1 интервалите, в които те са с ненулева стойност, не се застъпват, следователно произведението им е равно на 0 и интегралът също има стойност 0. Когато отместването стане -1 интервалите, в които функциите имат ненулева стойност се застъпват и стойността на конволюцията започва да расте. В жълто е оцветено застъпването между двете функции. Стойността на конволюцията е равна на площта на оцветената в жълто област. Когато отместването стане равно на нула интегралът придобива максималната стойност, равна на 1. От там насетне стойността му намалява до нула за отместване 1. За по-големи отмествания стойността на конволюцията е 0.

Свойства на конволюцията

Комутативност

$f*g=g*f\,$

Асоциативност

$f*(g*h)=(f*g)*h\,$

Дистрибутивност

$f*(g+h)=f*g+f*h\,$

Асоциативност със скаларен параметър

$a(f*g)=(af)*g=f*(ag)\,$

Ако $\delta \,$ импулсната функция на Дирак, която се дефинира като

$\delta (t)={\begin{cases}\infty \ &t=0\\0&t\neq 0\end{cases}}\quad ;\quad \int \limits _{-\infty }^{\infty }\delta (t){\rm {d}}t=1,$

в сила е следното равенство

$f*\delta =f\,$

Приложения

Конволюцията намира приложение в много математически, инженерни и физични задачи.

• В теорията на линейните системи изходният сигнал на линейна инвариантна система може да бъде описан като конволюция между входния сигнал и импулсната характеристика на системата. Импулсна характеристика се нарича изходният сигнал на системата, ако входният сигнал е безкрайно кратък импулс.
• В оптиката ако предмет хвърля сянка върху екран, формата на сянката може да се представи като конволюция между формата на източника на светлина и формата на предмета. В този случай конволюцията се дефинира в две измерения.
• При цифрова обработката на изображения конволюцията се използва в алгоритми за намиране на контурите на обекти.