Област на определение на функция

В математиката, област на определение на функция (също дефиниционна област и дефиниционно множество) е множество от стойности, за които дадена функция е определена. Тоест, функцията има определена стойност за всеки елемент от областта.[1] Множеството от стойности, които се получават от дадената функция, се нарича образ на функцията.

Илюстрация на f, функция от розовата област X в синята кообласт Y. Жълтият овал в Y е образът на f.

Например, областта на определение на косинуса е множеството на всички реални числа, докато областта на квадратния корен включва само числа, по-големи или равни на нула (и в двата случая не се вземат предвид комплексните числа).

Ако дефиниционното множество на функция е подмножество на реалните числа, а функцията е представена в Декартови координати, тогава областта се изразява върху оста x.

ОпределениеРедактиране

За дадена функция  , множеството   е областта на  , а множеството   е кообластта на  . В израза  ,   е аргументът, а   е стойността. Аргументът може да се приеме за елемент от областта, който е избран за „вход“ на функцията, а стойността като „изход“, когато функцията се приложи върху въпросния елемент от областта.

Образът на   е множеството от всички стойности, които   може да приеме за всички възможни  . Това е множеството  . Образът на   може да е същият като кообластта или да е нейно собствено подмножество. Той е цялата подобласт тогава и само тогава, когато   е сюрективна функция, като във всички останали случаи е по-малък.

Една добре дефинирана функция трябва да съпоставя всеки елемент от областта си към елемент от кообластта си. Например, функцията  , дефинирана

 

няма стойност за  . Следователно, множеството на всички реални числа ( ) не може да бъде нейното дефиниционно множество. В такъв случай, функцията се дефинира в   или пролуката се запълва чрез изрично дефиниране на  . Ако дефиницията на   се разшири до функцията на части

 

тогава f е дефинирана за всички реални числа и областта ѝ на определение е  .

Всяка функцията може да се ограничи до подмножество от областта си. Ограничението на   до  , където  , се изразява като  .

ИзточнициРедактиране

  1. Paley, Hiram, Weichsel, Paul M.. A First Course in Abstract Algebra. New York, Holt, Rinehart and Winston, 1966. с. 16.