Вълново уравнение

(пренасочване от Уравнение на вълната)

Вълновото уравнение във физиката представлява линейно хиперболично частно диференциално уравнение, определящо малки напречни колебания на тънка мембрана или струна, както и други колебателни явления в твърди среди и анализ на процесите в електромагнетизма.

Импулс, движещ се през струна с фиксирани краища и моделиран от вълновото уравнение.
Сферични вълни, произлизащи от точков източник.

Намира приложение и в други области на теоретичната физика, например при описанието на гравитационните вълни. Това е едно от основните уравнения в математическата физика. През 1746 г. Д'Аламбер открива едномерното вълново уравнение, а след десет години Ойлер открива триизмерното вълново уравнение.[1]

Видове уравнения

редактиране

В многомерния случай еднородното вълново уравнение се записва във вида:

 ,

където   е оператор на Лаплас,   е неизвестната функция,   е времето,   е пространствената променлива, а   е фазовата скорост.

В едномерния случай уравнението се записва във вида:

 .

Оператор на Д'Аламбер

редактиране

Разликата   се нарича оператор на Д'Аламбер и се обозначава като   (въпреки че различните източници използват различни знаци). С използването на оператора на Д'Аламбер (Д'Аламбертиан) еднородното вълново уравнение се записва като:

 

Нееднородно уравнение

редактиране

Нееднородното вълново уравнение се записва във вида:

 ,

където   е дадена функция на външно въздействие (сила).

Стационарният вариант на вълновото уравнение е уравнението на Лаплас (уравнение на Поасон в нееднороден случай).

Задачата за намиране на нормални колебания в система, описана от вълнови уравнения, се привежда до задача на собствените значения на уравнението на Лаплас, тоест до намирането на решение на уравнението на Хелмхолц, което се намира чрез заместване:

  или  .

Вълнови уравнения за електромагнитното поле

редактиране

Електромагнитният потенциал на електромагнитното поле e 4-мерен вектор, който зависи от пространството   и времето   и съдържа електричния (скаларен)   и магнитния (векторен)   потенциали:

 

Потенциалите са свързани с напрегнатостта на електрическото   и магнитното   полета. Магнитният потенциал е дефиниран така, че

 . (1)

Ако така определеният вектор на магнитното поле   се замести във второто уравнение на Максуел, след известни математически преобразования се получава следният израз за напрегнатостта на електричното поле:

 . (2)

Ако в първото уравнение на Максуел се замести   с дясната част на уравнение (1), след някои преобразувания се получава уравнението на Даламбер за векторния потенциал:

 . (3)

Следователно, за определяне на векторния потенциал   е необходимо да се реши диференциалното уравнение (3), ако е известен токът на проводимостта  .

Ако в третото уравнение на Максуел се замести   с дясната част на уравнение (2), след аналогични преобразувания се получава уравнението на Даламбер за скаларния потенциал:

 . (4)

Следователно, за определяне на скаларния потенциал   е необходимо да се реши диференциалното уравнение (4), ако е известна обемната плътност на електричните заряди  .

Ако векторният потенциал  , скаларният потенциал   и плътността на обемните заряди   се изменят много бавно, може да се приеме, че почти не зависят от времето и производните им спрямо времето са нули. Тогава уравненията (3) и (4) стават Поасонови уравнения:

 . (5)
 . (6)

В областта, където липсват свободни електрически заряди   и диференциалното уравнение (4) приема вида:

 . (7)

Това диференциално уравнение е известно с името вълново уравнение за електричния потенциал.

Аналогично от равенство (3) при липса на ток на проводимост   се получава вълновото уравнение за магнитния потенциал:

 . (8)

Решения на вълновите уравнения

редактиране

Съществува аналитично решение на хиперболичното уравнение в частни производни. В евклидово пространство с произволна размерност то се нарича формула на Кирхоф. Частни случаи: за колебания на струна ( ) – формула на Д'Аламбер, за колебания на мембрана ( ) – формула на Поасон.

Решенията на Поасоновите уравнения са както на диференциалните уравнения на Поасон в електростатиката:

 

Решението на вълновото уравнениe е функция на аргумента  :

 ,

където   е разстоянието от координатното начало до точката на наблюдение с координати   и изразява модула на радиус-вектора между двете точки;
  e скоростта на светлината във вакуум с диелектрична и магнитна проницаемости ε0 и μ0. Така скаларният потенциал в електродинамиката се получава като решение на Поасоново уравнение във вида:

 

Аналогично е решението на Поасоновото уравнение за векторния потенциал:

 .

Следователно решенията на уравненията са същите, както в електростатиката, но със закъснене по време  , необходимо за разпространение на вълнàта на разстояние   със скорост  . Затова електродинамичните потенциали се наричат закъсняващи потенциали.

Формула на Д'Аламбер

редактиране

Решение на едномерно вълново уравнение (тук   е фазовата скорост):

  (функцията   съответства на външна сила)

с начални условия

 

има вида

 

Интересно е да се отбележи, че решението на еднородната задача

 ,

имащо следния вид

 
 
Решение на двуизмерното вълново уравнение.

може да бъде представено и така

 

където

 
 

В такъв случай се казва, че решението е представено във вида на сбор от бягащи вълни, а функциите   и   са профили на вълните, бягащи, съответно, наляво и надясно. В разглеждания случа профилите на вълните се изменят с времето.

В многомерния случай решението на задачата на Коши може да бъде разложено на бягащи вълни, само че не в сбор, ами в интеграл, тъй като направленията стават безкрайно много. Това лесно се преодолява с помощта на трансформация на Фурие.

Методи за решение в ограничена едномерна област

редактиране

Метод на отражение

редактиране

Нека разгледаме едномерното еднородно вълново уравнение в отрязъка  

 

с еднородни гранични условия от първи род (тоест при фиксирани краища)

 

и начални условия

 

В дадения случай трябва безкрайно число на отражение и в резултат на това продължаването на първоначалните условия ще се определи по следния начин:

 
 

При разглеждането на нееднородно вълново уравнение:

 

се използват същите съображение и функцията   се продължава по такъв начин.

Метод на Фурие

редактиране

Нека отново да разгледаме едномерното еднородно вълново уравнение в отрязъка  

 

с еднородни гранични условия от първи род

 

и начални условия

 

Методът на Фурие се основава на представянето на решението във вида на безкрайна линейна комбинация от прости решения на задачата от вида

 , където и двете функции зависят само от една променлива.

Оттук е и другото название на метода – метод на разделянето на променливи.

Лесно е да се докаже, че за да може функцията   да е решение на уравнението на колебание и да удовлетворява граничните условия, е необходимо да са изпълнени условията

 
 
 

Решението на задачата на Щурм при   води до резултат:

 

и техните собствени стойности  

Съответстващите им функции   изглеждат като

 

По този начин, тяхната линейна комбинация (при условие, че редът е сходящ) е решение на смесената задача

 

Разлагайки функцията   в ред на Фурие, е възможно да се получат коефициентите  , при които решението ще приеме такива начални условия.

Вижте също

редактиране

Източници

редактиране
  1. Speiser, David. Discovering the Principles of Mechanics 1600 – 1800, с. 191 (Basel: Birkhäuser, 2008).