В диференциалната геометрия, метричен тензор е вид тензор от 2 ред, позволяващ да се определи скаларното произведение на два вектора във всяка точка от пространството и който се използва за измерването на дължини и ъгли. Обобщава теоремата на Питагор. В дадена координатна система метричният тензор може да бъде представен като матрица .

Базови координати векториРедактиране

Разглеждаме два произволни вектора в координатна система:

 
 

, където   са ортогонални базови вектори.

За удобство се използва съкратен вариант на записване:

A = (A1; A2; A3)
B = (B1; B2; B3)

Можем да направим такова записване и за базовите вектори:

e1 = (1; 0; 0);
e2 = (0; 1; 0);
e3 = (0; 0; 1):

В тензорния анализ се използват множество съкращения при записване на изразите за сумиране и умножение.

Едно от най-ползваните означения е символа на Кронекер – (делта):

  ако i =j,
  ако  
В сила е и следното записване на коефициентите на Кронекер:
 
 
 
 

Ако ползваме горен индекс се получава:

 
 
 

В случай на ортогонална координатна система с единични вектори   имаме следната формула:

  където m; n = 1; 2; 3

Реципрочни базови векториРедактиране

Разглеждаме координатна система с базови вектори:  

Приемаме че те не са нито ортогонални, нито единични.

Всеки вектор А в това пространство може да бъде представен като произведение на координатите със съответните базови вектори:

 

А сега да разгледаме реципрочна базова координатна система. Тя отговаря на следните условия: Базови вектори:  

 
 
 
 
 
 
Забележете че втората група от условия налагат  да е перпендикулярен на   и  ,

  да е перпендикулярен на равнината, определена от   и  

и   да е перпендикулярен на равнината, определена от   и  .

Горните изисквания могат да бъдат записани съкратено чрез символа на Кроникер:

 , където i,j = 1,2,3

Връзка между базовите вектори и реципрочната база векториРедактиране

От условията по въвеждането на реципрочната база вектори:   се вижда че   трябва да е перпендикулярен на   и  .

Следователно той може да бъде представен като произведение

 

където   е константа, която предстои да бъде определена по нататък.

Ако последното равенство бъде умножено скаларно с вектора   ще получим обема на паралелепипеда, зададен от базата  .

 

  – обем на паралелепипед зададен от базовите вектори с общо начало.

Съответно връзката между базата вектори   и реципрочната база от вектори   е:

 
 
 

Контравариантно и ковариантно представяне на векторРедактиране

Нека да имаме база от вектори   и съответната реципрочна база от вектори:  .

Разглеждаме вектор А, за който е в сила следното представяне спрямо  

 

Координатите   се наричат контравариантни компоненти на А.

Тяхната стойност се определя от:

 
 
 

Ако представим вектор А в реципрочната координатна система имаме:

 
Координатите   се наричат ковариантни компоненти на А.

Те се определят от равенствата:

 
 
 

Метричен тензорРедактиране

Контравариантното и ковариантното представяне на вектор са различни начини за представяне на един и същи вектор спрямо две реципрочни бази от координатни вектори.

Да разглеждаме две бази от координатни вектори   и  , но в този случай те да не са реципрочни.

Ползвайки същия подход както при реципрочните векторни бази записваме:

 
 

скаларните величини:   се наричат метрични компоненти на пространството.

Съответно   се наричат спрегнати метрични компоненти на пространството.

Представяне на вектор спрямо метричните компоненти на пространствотоРедактиране

Да разгледаме вектора   представен спрямо базата  .

 

От предишните подточки знаем че

 
 
 
 
Умножаваме:

   

Ползвайки метричните компоненти на пространството получаваме:

 
 
 

Ето връзката между контраварианните и ковариантните координати на вектор А:

 
 
 

Ползвана литература и полезни материали в интернетРедактиране

  • Английската и руската версии на Уикипедия
  • „Теоретическа физика“ – Л.Д.Ландау, Лифшиц