Отваря главното меню
Правилен петоъгълник

Петоъгълникът (също и пентагон, от старогръцки: πεντα + γωνία – „пет“ + „ъгъл“) е многоъгълник с пет страни и ъгли.[1] Сборът на всички вътрешни ъгли е 540° (3π). Петоъгълникът е единственият многоъгълник с равен брой страни и диагонали – по 5.

Правилен петоъгълникРедактиране

При правилния петоъгълник всички страни и ъгли са равни. Вътрешният ъгъл е 108°, а външният и централният – 72°. Диагоналите на правилния петоъгълник образуват петолъчна звезда, наречена пентаграм.

ЛицеРедактиране

Лицето S на правилен петоъгълник може да бъде намерено по три начина:

  • По страната a:
 
 
 

ПостроениеРедактиране

Тъй като 5 е просто число на Ферма, правилен петоъгълник може да бъде построен с линийка и пергел:[2]

 

ИзползванеРедактиране

Петоъгълни панаРедактиране

 
15 познати петоъгълни пана

Възможностите за покритие на равнината с изпъкнали петоъгълници се изучават системно от началото на 20в., като в 2017 г. с помощта на компютър е доказано твърдението, че са възможни само 15 варианта.[3]

 
кайрско петоъгълно пано
 
цветовидно петоъгълно пано
 
призматично петоъгълно пано

Непериодични моноедрични покритияРедактиране

С петоъгълници могат да бъдат постигани пълни покрития с център на симетрия за всеки порядък над 2. [4]

 
5-кратна ротационна симетрия
 
6-кратна ротационна симетрия (на Хиршхорн)
 
7-кратна ротационна симетрия

Шестоъгълно-петоъгълни покрития на равнинатаРедактиране

 
Разложения на шестоъгълник в петоъгълници

Лесно се установява, че шестоъгълник може да бъде разложен, и то по няколко начина, на комбинация от неправилни петоъгълници. Доколкото шестоъгълниците запълват равнината, това остава в сила и при разлагането им.

 
Покритие с един тип "половинка".
 
Покритие с един тип "третинка".
 
Покритие с един тип "четвъртинка".
 
Покритие със смесена комбинация (3+9).


Вижте същоРедактиране

ИзточнициРедактиране

  1. Речник на българския език, том 12, стр. 325, БАН, 2004
  2. Constructible Polygon, mathworld.wolfram.com
  3. Rao, Michaël (2017), "Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane" (PDF), Manuscript: 16, Bibcode:2017arXiv170800274R (неофициална публикация
  4. Klaassen, Bernhard. Rotationally symmetric tilings with convex pentagons and hexagons. // Elemente der Mathematik 71 (4). 2016. DOI:10.4171/em/310. с. 137 – 144.