Питагорова теорема

Питагоровата теорема е една от най-важните теореми в евклидовата геометрия, изразяваща връзката между дължините на страните на правоъгълен триъгълник:

Питагоровата теорема: сборът от площите на двата квадрата със страни катетите на правоъгълен триъгълник е равен на площта на квадрата със страна хипотенузата

$a^{2}+b^{2}=c^{2}\!\,$,

където $c$ е дължината на хипотенузата, $a$ и $b$ са дължините на двата катета.

Теоремата носи името на древногръцкия философ и математик Питагор (570 – 495 пр.н.е.), на когото традицията приписва нейното откриване и доказване, въпреки че тя изглежда е известна дълго преди това. Същестуват свидетелства, че още математиците във Вавилон разбират тази зависимост.

Питагоровата теорема свързва както дължините на страните на правоъгълния триъгълник, така и площите на съответните им квадрати, т.е. тя има както площна, така и линейна интерпретация. Част от множеството доказателства на теоремата се базират на първата, а останалите – на втората, като използват различни алгебрични и геометрични методи. Питагоровата теорема може да бъде обобщена по различни начини, включително за многоизмерни или неевклидови пространства, за обекти, които не са правоъгълни триъгълници, и дори за обекти, които изобщо не са триъгълници, а n-мерни тела.

Доказателства

Питагоровата теорема е една от теоремите с най-много различни доказателства, като броят им е не по-малък от 370.

Доказателство с подобни триъгълници

Схема 1: Доказателство с използване на подобни триъгълници

Основа на това доказателство е пропорционалността на страните на два подобни триъгълника – съотношението на дължините на съответните страни на два подобни триъгълника е еднакво, независимо от техния размер.

Нека $\triangle ABC$ е правоъгълен триъгълник, с прав ъгъл при върха $C$, както е показано на Схема 1. Построява се височината от върха $C$, като нейната пресечна точка със страната $AB$ е точката $H$. $H$ разделя хипотенузата на триъгълника с дължина $C$ на части с дължини $d$ и $e$. Новообразуваният триъгълник $ACH$ е подобен на триъгълника $\triangle ABC$, защото и двата имат прав ъгъл, а ъгълът при върха $A$ е общ за двата триъгълника, от което следва, че и третите ъгли на двата триъгълника, отбелязани на схемата с $\ni$, са равни. По същия начин триъгълникът $\triangle CBH$ също е подобен на $\triangle ABC$. От подобието на триъгълниците следва равенството на съотношенията на съответните им страни:

${\frac {a}{c}}={\frac {e}{a}}$ и ${\frac {b}{c}}={\frac {d}{b}}$

Тези съотношения могат да бъдат записани и като:

$a^{2}=c\times e$ и $b^{2}=c\times d$

При събиране на двете уравнения се получава:

$a^{2}+b^{2}=c\times e+c\times d=c\times (d+e)=c^{2}$

Този израз съвпада с питагоровата теорема:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}\!$

Това доказателство се основава на съотношения на дължини, а не на площи. Въпросът, защо то не е използвано от Евклид, предизвиква дискусии в историята на математиката. Според някои изследователи, използваната в него теория на пропорциите, развита в следващите части на „Елементи“, по това време не е била достатъчно добре разработена.

Доказателство на Евклид

Доказателство на Евклид

Евклид дава доказателство в книгата си Елементи, Книга 1, Твърдение 47

Нека $\triangle ABC$ е даденият правоъгълен триъгълник с хипотенуза $BC$. Построяваме квадратите $\square ACIH$, $\square ABFG$ и $\square BCED$ от външните страни на триъгълника. Тъй като лицето на всеки квадрат е равно на квадрата на дължината на страната му, за да докажем теоремата е достатъчно да се покаже, че лицето на $\square BCED$ е равно на сумата на лицата на другите два квадрата. За целта спускаме перпендикуляра $AL$ от точката $A$ към правата $DE$. Нека той пресича правата $BC$ в точката $K$. Построяваме също отсечките $CF$ и $AD$.

Ъгълът $\angle CBF$ е равен на сумата на ъглите $\angle ABC+\angle ABF$. Аналогично, $\angle ABD$ е равен на сумата на $\angle ABC+\angle CBD$. Тъй като ъглите $\angle ABF$ и $\angle CBD$ са прави, а следователно и равни, следва, че $\angle ABD$ е равен на $\angle CBF$. Освен това отсечките $BF=BA$, тъй като са страни на един и същ квадрат. Аналогично, $BD=BC$. От там следва, че триъгълниците $\triangle ABD\cong \triangle CBF$ са еднакви, по признака за две страни и прилежащ ъгъл.

Лицето на триъгълника $S_{\triangle ABD}={\frac {1}{2}}S_{KBDL}$, тъй като $KB$ е равна на височината към страната $BD$ в $\triangle ABD$. Аналогично лицето на CBF е половината от лицето на ABFG. Тъй като двата триъгълника имат еднакви лица, следва, че лицето на ABFG е равно на лицето на KBDL. Аналогично се показва, че лицето на KCEL е равно на това на квадрата ACIH. Оттук следва, че лицето на BCED е равно на сумата на лицата на другите два квадрата, с което теоремата е доказана.

Доказателства с преподреждане на фигури

Доказателство на питагорова теорема

Даден е квадрат със страна $c^{2}$. В него са построени четири триъгълника както е показано на чертежа със страни $a$ и $b$. Полученият по средата квадрат е със страна $a-b$. Лицето на големия квадрат е $c^{2}$ и е равно на лицата на триъгълниците $4.ab/2$ + лицето на малкия квадрат $(a-b)^{2}$:

$c^{2}=2ab+(a-b)^{2}$

$c^{2}=2ab+a^{2}-2ab+b^{2}$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$

Доказателство на Гарфийлд

Доказателство на Гарфийлд

Доказателството е публикувано през 1876 г., от Джеймс Гарфийлд (по това време депутат, а впоследствие президент на САЩ) като продължение на предишното, но без квадрати.

Даден е правоъгълен трапец с основи a и b и дължина на височината a+b, както е показано на чертежа

От формулата за лице на трапец имаме (a+b)/2.(a+b)

А от триъгълниците имаме, че лицето на трапеца е равно на: ab/2 + ab/2 + c²/2

Тоест (a+b)²/2 = ab + c²/2

a²/2 + b²/2 + ab = ab + c²/2

a²/2 + b²/2 = c²/2

a² + b² =c²

Следствия и употреби

Питагорова тройка

Питагорова тройка представляват три положителни цели числа a, b и $c$, такива че a² + b² = $c$². С други думи питагорова тройка представляват дължините на страните на правоъгълен триъгълник, чиито дължини на страните са от множесвото на целите числа. Такава тройка често бива записвана като (a, b, $c$). Известни примери са (3, 4, 5) и (5, 12, 13).

Следва списък на някои питагорови тройки, за които a, b и $c$ са по-малки от 100:

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

Питагорово тригонометрично тъждество

В правоъгълен триъгълник със страни a, b и хипотенуза $c$ тригонометрията определя синуса и косинуса на ъгъла θ между страна a и хипотенузата като:

$\sin \theta ={\frac {b}{c}},\quad \cos \theta ={\frac {a}{c}}.$

От тук следва:

${\cos }^{2}\theta +{\sin }^{2}\theta ={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}=1,$

където последната стъпка прилага теоремата на Питагор. Тази връзка между синус и косинус понякога се нарича основна питагорово-тригонометрична идентичност. В подобни триъгълници съотношенията на страните са еднакви независимо от размера на триъгълниците и зависят от ъглите.

Източници

Цитирана литература

• Heath, Sir Thomas. A History of Greek Mathematics, Vol. I. Dover Publications, 1981, [1921]. ISBN 0-486-24073-8. (на английски)
• Loomis, Elisha Scott. The Pythagorean proposition. 2nd. The National Council of Teachers of Mathematics, 1968. ISBN 978-0873530361. (на английски)
• Maor, Eli. The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History. Princeton, New Jersey, Princeton University Press, 2007. ISBN 978-0-691-12526-8. (на английски)

Външни препратки

• 81 доказателства на теоремата