Правоъгълен триъгълник

Триъгълник с ъгъл 90°

Правоъгълен триъгълник е вид триъгълник, на който един от ъглите е прав (90°). Останалите 2 ъгъла са остри.

 
Правоъгълен триъгълник:
АВ – катет
ВС – катет
АС – хипотенуза

Най-дългата страна в триъгълника е тази, която лежи срещу правия ъгъл и се нарича хипотенуза. Другите две страни се наричат катети.

Зависимостта между дължините на трите страни в правоъгълен триъгълник се изразява с Питагоровата теорема.

Отношението на дължините на които и да е две страни се изразява с тригонометрична функция.

Свойства

редактиране
  • Питагорова теорема: Сумата от квадратите на дължините на катетите е равна на квадрата от дължината на хипотенузата:

 .

  • Дължината на медианата към хипотенузата е равна на 1/2 от дължината на хипотенузата.
 
Медиана към хипотенузата

Това лесно се доказва с помощта на насочени отсечки.

Ако разгледаме насочените отсечки  , то за триъгълника АМС е изпълнено:  , а за триъгълника АВС е изпълнено:  , откъдето следва, че:  , тъй като  . Ако повдигнем двете страни на квадрат, ще получим: AM 2 = (AB 2 + AC 2)/4 (произведението на перпендикулярни вектори е 0).

От Питагоровата теорема, за триъгълника ABC е в сила равенството: BC 2 = AB 2 + AC 2, откъдето следва, че: AM = BC/ 2.

  • Лицето на правоъгълен триъгълник е равно на 1/2 от произведението на дължините на катетите.
  • Теорема на Талес: Центърът на описаната около правоъгълен триъгълник окръжност лежи на хипотенузата.
  • Ако един от острите ъгли е равен на 30 градуса, то катетът, лежащ срещу този ъгъл, е равен на 1/2 от хипотенузата.

Вижте също

редактиране