Таблица на производни

Основната операция при математическия анализ е намирането на производна. Тази страница дава производните на някои математически функции в табличен вид. В таблиците f и g са диференцируеми функции, от реални числа и c е реално число. Тези формули са достатъчни за диференцирането на всяка елементарна функция.

Основни правила за диференциране

$\left({cf}\right)'=cf'$

$\left({f\pm g}\right)'=f'\pm g'$

$\left({fg}\right)'=f'g+fg'$ (правило Лайбниц)

$\left({f \over g}\right)'={f'g-fg' \over g^{2}},\qquad g\neq 0$

$(f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\qquad f>0$

$(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$ – правило за диференциране на сложни функции

$f'=(\ln f)'f,\qquad f>0$

$(f^{c})'=c\left(f^{c-1}\right)f'$

Производни на елементарни функции

$(ax^{n})'=nax^{n-1},n\in \mathbb {N}$

$x'=1$

$C'=0$

$(e^{x})'=e^{x},x\neq 0$

$(a^{x})'=a^{x}ln(a),a>0,x\neq 0$

$(\ln(x))'={\frac {1}{x}},x>0$

$(\log _{a}(x))'={\frac {1}{xln(a)}},x>0$

Производни на тригонометрични функции

$(\sin x)'=\cos x\,$	$(\sin ^{-1}x)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,$
$(\cos x)'=-\sin x\,$	$(\cos ^{-1}x)'=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,$
$(\operatorname {tg} \ x)'=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}=1+\operatorname {tg} ^{2}x\,$	$(\operatorname {tg} ^{-1}x)'={1 \over 1+x^{2}}\,$
$(\sec x)'=\sec x\operatorname {tg} x\,$	$(\sec ^{-1}x)'={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,$
$(\csc x)'=-\csc x\operatorname {cotg} x\,$	$(\csc ^{-1}x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,$
$(\operatorname {cotg} x)'=-\csc ^{2}x={-1 \over \sin ^{2}x}\,$	$(\operatorname {cotg} ^{-1}x)'=-{1 \over 1+x^{2}}\,$

Производни на Хиперболични функции

$(\sinh x)'=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$	$(\operatorname {arsinh} \,x)'={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}$
$(\cosh x)'=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$	$(\operatorname {arcosh} \,x)'={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$
$(\tanh x)'={\operatorname {sech} ^{2}\,x}$	$(\operatorname {artanh} \,x)'={1 \over 1+x^{2}}$
$(\operatorname {sech} \,x)'=-\tanh x\,\operatorname {sech} \,x$	$(\operatorname {arsech} \,x)'=-{1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$(\operatorname {csch} \,x)'=-\,\operatorname {coth} \,x\,\operatorname {csch} \,x$	$(\operatorname {arcsch} \,x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}$
$(\operatorname {coth} \,x)'=-\,\operatorname {csch} ^{2}\,x$	$(\operatorname {arcoth} \,x)'={1 \over 1-x^{2}}$

Производни на специални функции

Този раздел е празен или е мъниче. Можете да помогнете на Уикипедия, като го разширите.

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „List_of_differentiation_identities“ в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите. ​ ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни.​