Хиперболична функция

Хиперболичната функция е въведена по аналогия с познатите от елементарната геометрия тригонометрични функции, чрез замяна на реалния аргумент с чисто имагинерен. Тригонометричните функции се наричат още 'кръгови', тъй като за тях е в сила $\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1$, докато за хиперболическите $\cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)=1$, което е уравнение за хипербола, като променливите са съответните означения за хиперболичен косинус и синус. Графиката на хиперболата се дават в табличен вид произволни стойности (-∞;-1) и (1;+∞). Графиката на тази функция никога не пресича О, Ox или Oy, в координатната система. Препоръчително е за x да се изберат 3 отрицателни числа и същите 3 числа обаче с положителен знак и в обратен ред. Примерно -3; -2; -1; 1; 2; 3.

Лъч през единичната хипербола $\scriptstyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1$ в точка $\scriptstyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)$, където $\scriptstyle a$ е два пъти площта между лъча, хиперболата и оста $\scriptstyle x$. За точките на хиперболата под оста $\scriptstyle x$, площта се счита за отрицателна.

Стандартни аналитични изрази

sinh, cosh и tanh

csch, sech и coth

(a) cosh(x) е средно аритметичното на e^x и e^−x

(b) sinh(x) е половината разлика на e^x и e^−x

Хиперболичните функции са:

• Хиперболичен синус:

$\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}={\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}$.

• Хиперболичен косинус:

$\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}={\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}$.

• Хиперболичен тангенс:

$\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}=$

$={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}={\frac {1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}$.

• Хиперболичен котангенс: $x\not =0$

$\coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=$

$={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}={\frac {1+e^{-2x}}{1-e^{-2x}}}$

• Хиперболичен секанс:

$\operatorname {sech} \,x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}=$

$={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}={\frac {2e^{-x}}{1+e^{-2x}}}$

• Хиперболичен косеканс: $x\not =0$

$\operatorname {csch} \,x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}=$

$={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}={\frac {2e^{-x}}{1-e^{-2x}}}$

Хиперболичните функции могат да бъдат изведени и в комплексна форма:

• Хиперболичен синус:

$\sinh x=-i\sin(ix)$

• Хиперболичен косинус:

$\cosh x=\cos(ix)$

• Хиперболичен тангенс:

$\tanh x=-i\tan(ix)$

• Хиперболичен котангенс:

$\coth x=i\cot(ix)$

• Хиперболичен секанс:

$\operatorname {sech} x=\sec(ix)$

• Хиперболичен косеканс:

$\operatorname {csch} x=i\csc(ix)$

където $i$ е имагинерната единица със свойство $i^{2}=-1$.

Комплексните форми в по-горните определения се извеждат от формулата на Ойлер.

Специален смисъл

Хиперболичен косинус

Може да бъде доказано, че площта под кривата на cosh (x) в краен интервал е винаги равна на дължината на дъгата, съответстваща на този интервал:

${\text{площ}}=\int _{a}^{b}{\cosh {(x)}}\ dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {d}{dx}}\cosh {(x)}\right)^{2}}}\ dx={\text{дължина на дъгата}}$

Хиперболичен тангенс

Хиперболичният тангенс е решението на диференциалното уравнение $f'=1-f^{2}$ за f(0)=0 и нелинейната краева задача:

${\frac {1}{2}}f''=f^{3}-f;\quad f(0)=f'(\infty )=0$

Вижте още

• Обратни хиперболични функции