Числа на Перен

Числата на Перен в теория на числата се дефинират от рекурентната зависимост

$P(n)=P(n-2)+P(n-3)$ при $n>2$,

с начални стойности $P(0)=3,P(1)=0,P(2)=2,$

и безкрайната редица от тези числа започва с

3, 0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, 10, 12, 17, 22, 29, 39, ... (редица A001608 в OEIS).

Френският инженер и математик Франсоа Оливие Раул Перен (François Olivier Raoul Perrin, 1841-1910) е разгледал свойствата на числата от тази поредица. По рано, в 1876 година, тя е спомената от Едуар Лука (Édouard Lucas) а нейните свойства се изясняват едва след работите на Адамс и Шанкс (1982).

Генериране на числата на Перен

Дефиниционната рекурсия може да бъде представен чрез матричен запис:

${\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}P\left(n\right)\\P\left(n+1\right)\\P\left(n+2\right)\end{pmatrix}}$.

Възможно е и графичното построяване на спирала от равностранни триъгълници, като показаната на фигурата, която дава числата на Перен.

Спирала от равностранни триъгълници, чиито дължини на страните следват редицата на Перен

Свойства на числата на Перен

Редицата на Перен съдържа безброй прости числа, като първите от тях са:

   2, 3, 5, 7, 17, 29, 277, 367, 853, 14197, 43721, 1442968193, 792606555396977, 187278659180417234321, 66241160488780141071579864797, ... (редицата A074788 в OEIS).

Доказано е, че за всяко просто число р, P(p) се дели на p. Обратното обаче не е вярно и пример за това става известен в 1982. Съставно число n, което е делител на P(n), се нарича псевдопросто число на Перен и първите няколко такива са:

   271441, 904631, 16532714, 24658561, 27422714, 27664033, 46672291, 102690901, 130944133, (редицата A013998 в e OEIS)

Отношението на последователни числа на Перен има граница и тя задава т.нар. пластична константа 1.32471 (известна и под други имена).