Вълновóдът е изкуствен или естествен направляващ канал, по който може да се разпространяват електромагнитни или акустични вълни. В този случай потокът от мощност, пренасян от вълната, се концентрира вътре в този канал или в областта на пространството, непосредствено съседна на канала.

В тесния смисъл на думата вълновод се нарича преносна линия с формата на метална тръба или диелектрично стебло, по дължината на които се разпространяват електромагнитни вълни. Те се наричат съответно метални и диелектрични вълноводи. Може да имат различни форми и размери. Делят се на две основни групи: правоъгълни и цилиндрични. Вторите могат да бъдат с кръгло или елиптично напречно сечение. Формата и размерите на напречното сечение определят разпределената индуктивност и разпределения капацитет. [1]

Най-често терминът „вълновод“ се отнася до метални тръби, предназначени да предават енергията на електромагнитните вълни в диапазона на СВЧ и КВЧ. Такъв вълновод е преносна линия с една или повече проводими повърхности, с напречно сечение под формата на затворена проводима верига, покриваща областта на разпространение на електромагнитна енергия. [2].

Разпространението на вълната по дължината на вълновода става чрез многократно отражение от стените му и интерференция на отразените вълни. [3]

Вълноводите могат да се използват за предаване на електромагнитни вълни от дециметровия до оптичния обхват с различни загуби на енергия. Най-голямо приложение намират в диапазона на свръхвисоките честоти, затова са основен вид преносни линии за сантиметрови вълни. [1]

Графично изображение на напрeгнатостта на магнитното поле на разпространяваща се електромагнитна вълна тип Н31 вътре в правоъгълен метален вълновод.

Историческа справкаРедактиране

Първата конструкция за предаване на вълни е предложена от английския физик Джоузеф Джон Томсън през 1893 г., а първи е проверил експериментално нейния принцип английския физик и изобретател Оливър Лодж през 1894 г. Първият математически анализ на хода на електромагнитните вълни в метален цилиндър е извършен от британския физик и механик лорд Релей през 1897 г. [4]. В процеса на задълбочено проучване на звукови вълни (повърхностни акустични вълни) лорд Релей публикува пълен математически анализ на принципа на тяхното разпространение в своето фундаментално изследване „Теория на звука“ [5].

По-късно, през 20-те години на ХХ век, започва изследването на диелектрични вълноводи (включително оптични влакна). Няколко учени, сред които най-известните са британският физик и механик лорд Релей, немският теоретичен физик и математик Арнолд Зомерфелд, както и холандският физик Петер Дебай [6]. Фундаменталните изследвания довеждат до факта, че през 60-те години стъкловлакната започват да привлича специално внимание поради възникващите възможности за използването им за предаване на данни и връзка.

ВидовеРедактиране

Според материалаРедактиране

Метални (екранирани)Редактиране

  • без запълнение
  • частично запълнени с диелектрик

Екранираният вълновод има добре отразяващи стени за разпространението на вълната в него, така че вълновият поток от мощност е концентриран във вълновода. По правило такива вълноводи са направени под формата на кухи тръби или запълнени със среда със специално подбрани параметри. Напречното сечение на тези тръби има формата на правоъгълник, кръг, елипса, което е свързано с по-голяма структурна простота, въпреки че се използват и вълноводи за други цели с други форми на напречно сечение. За да не се отразява вълната в обратна посока, вълноводът се изработва еднороден: формата и размерите на напречното сечение, както и физическите свойства на материалите, трябва да бъдат постоянни по дължината на вълновода. Тъй като вълната се отразява от стените на екранирания вълновод, в напречна посока се появява стояща вълна с определен състав на типовете колебания (модовете).

За предаване на електромагнитни вълни се използват метални тръби, кухи или напълнени с диелектрик. Терминът радиочестотен вълновод (на английски radiofrequency guide, обозначаване RG) подчертава предназначението и разликата от проводниците за пренос на постоянен ток и ток с промишлена честота, както и от нискочестотни комуникационни кабели. Метални вълноводи и твърди коаксиални линии с прорези в екрана служат за изграждане на вълноводно-процепни и коаксиално-процепни антени.

Екранираните вълноводи също включват акустични вълноводи, това са тръби с доста твърди стени, например метални или пластмасови. В такива вълноводи акустичните вибрации се разпространяват в газа, изпълващ вълновода, обикновено във въздуха. Преди са се използвали широко на кораби и други плавателни съдове под името „разговорни тръби“.

Почти всички видове вълноводи могат да се считат за разновидности на дълги предавателни линии, тоест такива, чиято дължина значително надвишава дължината на разпространяващата се в тях вълна.

Диелектрични (неекранирани)Редактиране

При открити (неекранирани) вълноводи локализацията на полето обикновено се причинява от явлението пълно вътрешно отражение от границата между две среди (в диелектрични радиовълноводи и оптични влакна) или от области с плавно променящи се средни параметри (например атмосферен вълновод, подводен звуков канал, градиентно оптично влакно). Полето е локализирано главно вътре в специално проектирания за този участък напречен разрез на вълновода и бързо намалява извън тази област. Поради това вълната се канализира във вълновода. Отворените плоски оптични вълноводи в интегрално изпълнение се използват за изграждане на различни интегрирани оптоелектронни устройства.

Акустичните отворени вълноводи служат като основа за устройства, базирани на повърхностни акустични вълни; в такива вълноводи, ултразвукова вълна се разпространява по границата между две среди с различни акустични свойства.

 
Правоъгълен кух вълновод

Според формата и напречното сечениеРедактиране

  • правоъгълни
  • П-образни
  • Н-образни
  • цилиндрични
    • кръгли
    • елиптични

Според честотния диапазонРедактиране

  • радиовълноводи – стандартните радиовълноводи се използват за честоти от 320 MHz до 330 GHz (от 93,75 cm до 0,909 mm)

Частни случаи на радиовълноводи са атмосферните вълноводи:
1) тропосферeн вълновод – квазихоризонтален слой в тропосферата, разположен на малка височина над земната (водната) повърхност, в който радиовълните с достатъчно висока честота могат да се разпространяват като в диелектричен вълновод (тоест като в предавателна линия) с много малко затихване;
2) йоносферeн вълновод – квазихоризонтален слой от атмосферата, разположен на височина от земята до най-долния йоносферен слой D, в който дългите радиовълни могат да се разпространяват като в диелектричен вълновод (тоест като в предавателна линия) на много големи разстояния чрез многократно отражение от земята и йоносферата;

  • световоди: оптични влакна, интегрални оптични вълноводи.

Анализ на процесите във вълноводитеРедактиране

Анализ на процесите в предавателните линии се извършва чрез решаване на електродинамична задача. За вълноводите това става посредством решаване на основните уравнения на електродинамиката – уравненията на Максуел. Решенията представляват математически изрази за напрегнатостите на електрическото и магнитно поле Е и Н. За целта се използват тримерни координатни системи:

  • В правоъгълния вълновод – правоъгълна координатна система Oxyz. Оста х е по широката страна, оста y е по тясната страна, а оста z – по дължината на вълновода. Равнината на широката стена xOz, в която са разположени магнитнити силови линии, се нарича Н-равнина. Равнината на тясната стена уOz, в която са разположени електричните силови линии, се нарича Е-равнина. Равнината на напречното сечение хOу, която е перпендикулярна на посоката на разпространение по надлъжната ос z, определена от вектора на Пойнтинг, се нарича напречна равнина или равнина на Пойнтинг. Векторите на електрическото и магнитното полета Е и Н се разлагат на 3 съставни: Ех, Еу, Еz, Нх, Ну и Нz. Те се описват с тригонометрични функции.
  • В цилиндричния вълновод – цилиндрична координатна система Orφz. Равнината на напречното сечение rOφ, която е перпендикулярна на посоката на разпространение по надлъжната ос z, определена от вектора на Пойнтинг, се нарича напречна равнина или равнина на Пойнтинг. Всяка точка от напречното сечение се определя от радиус-вектора r, изразяващ разстоянието до нея от координатното начало О в центъра на сечението и от ъгловата координата φ. Всяка точка от надлъжно сечение през произволен ъгъл φ се определя от радиус-вектора r, изразяващ разстоянието до нея от оста на цилиндъра z и надлъжната координата z от координатното начало О на цилиндъра. Векторите на електрическото и магнитното полета Е и Н се разлагат на 3 съставни: Еr, Еφ, Еz, Нr, Нφ и Нz. Те се описват с Беселови функции.

Типове вълни във вълноводитеРедактиране

Типовете вълни се наричат модове. Определят се от структурата на полето.

  • Напречни електрични вълни или магнитни вълни. Наричат се ТЕ-вълни или Н-вълни. Електричното им поле има само напречни съставни Ех и Еу (в напречната равнина спрямо посоката на разпространение) и няма надлъжна съставна Еz (по посоката на разпространение). Магнитното им поле има надлъжна съставна Нz.
  • Напречни магнитни вълни или електрични вълни. Наричат се ТН-вълни или Е-вълни. Магнитното им поле има само напречни съставни Нх и Ну (в напречната равнина спрямо посоката на разпространение) и няма надлъжна съставна Нz (по посоката на разпространение). Електричното им поле има надлъжна съставна Еz. [1]

В металните вълноводи могат да се разпространяват Н-вълни и Е-вълни. Напречна електромагнитна вълна (ТЕМ-вълна), т.е. такава, която едновременно няма надлъжни съставни и на електричното, и на магнитното поле, не съществува. Тя може да се разпространява в двупроводните линии.

В диелектричните вълноводи освен посочените, могат да се разпространяват и вълни, които съдържат и шестте компоненти на полето: Ех, Еу, Еz, Нх, Ну и Нz.

Всеки мод се означава с буква Е или Н и 2 индекса: Еmn или Нmn. Индексите m и n означават броя на полувълните на полето в определени направления от напречното сечение на вълновода:

  • В правоъгълния вълновод m е броят на полувълните на полето, които се нанасят по широката страна, а n – по тясната страна на напречното сечение на вълновода. Например, Н10 означава магнитна вълна с 1 полувълна на полето по широката стена а и 0 полувълни (постоянна стойност) по тясната стена b на вълновода.
  • В цилиндричния вълновод m е броят на полувълните на полето, които се нанасят по периферията (обиколката с дължина 2πR), а n – по радиуса R на вълновода. Например, E01 означава електрична вълна с 0 полувълни (постоянна стойност) на полето по периферията на вълновода и 1 полувълна по радиуса а на вълновода.
 
Структура и разпределение на полето за вълни тип Н10, Н20 и Н30 в правоъгълен вълновод

В кръглия цилиндричен вълновод вълните с индекс m=0, т.е. Е01 и Н01 не се изменят по ъгловата координата и, следователно, притежават осева симетрия. Поради това те са пригодни за използване във въртящи се съединения. [1]

Дължината на вълната (честотата), при която константата на разпространение става равна на нула, се нарича критична дължина на вълната λкр (критична честота fкр). Това е най-дългата вълна (най-ниската честота), която може да се разпространява във вълновода. Критичната дължина на вълната нараства при увеличаване на размерите на напречното сечение на вълновода. За всеки тип вълна тя е различна и се определя по формулата:

  • за правоъгълен вълновод
 ,

където а е вътрешният размер на широката страна, а b – вътрешният размер на тясната страна на напречното сечение на вълновода.

  • за кръгъл вълновод се определят по отделни формули за Е- и Н-вълни:
    • за Е-вълни:
 ,

където R е вътрешният радиус на цилиндъра, а Umn е n-ия корен на Беселовата функция от m-ти ред Jm(kr), с която се формулира изразът за напрегнатостта на полето Е и Н за този тип вълна.

    • за Н-вълни:
 ,

където R е вътрешният радиус на цилиндъра, а Umn е n-ия корен на първата производна J'm(kr) на Беселовата функция от m-ти ред за този тип вълна;   e вълновото число.

Корените се получават чрез приравняване на Беселовата функция или първата ѝ производна на 0 и решаване на получените уравнения. При изчисления се взимат от готови таблици за съответните стойности на m и n. [1]

Този тип вълна, който има най-голяма критична дължина на вълната, се нарича основен тип вълна. За металния правоъгълен вълновод това е Н10, а за кръглия цилиндричен – Н11. Останалите се наричат висши типове вълни (модове). Обикновено работният мод е един и това е основният мод, но в някои случаи може да са и повече, най-често два или три. Наличието на останалите, неработни модове е нежелателно, защото води до загуби на енергия. Неразпространението им се осигурява чрез подбор на определено съотношение между дължината на вълната (честотата) и напречните размери на вълновода или чрез филтри.

В правоъгълния вълновод критичните дължини λкр за вълните Еmn и Нmn с еднаква двойка индекси m и n съвпадат. В кръглия вълновод колебанията Е и Н с еднаква двойка индекси m и n имат различни λкр. [1]

ПараметриРедактиране

Константа на разпространение и работен диапазонРедактиране

Ако Z(z) е функцията на надлъжното разпределение на полето, параметърът

 

се нарича константа на разпространение. В общия случай тя е комплексна величина:  ,
където   е коефициентът на затихване, а   – фазовата константа.

Константата на разпространение зависи от честотата (дължината на вълната):

1) За да се разпространява по дължината на вълновода бягаща вълна с постоянна амплитуда, пренасяща енергия, константата на разпространение трябва да бъде чисто имагинерна величина   и да няма затихване  , Това се постига при дължина на вълната под критичната (честота над критичната): λ < λкр (f > fкр).

2) При критична честота/дължина на вълната (f = fкр, λ = λкр)   и по дължината на вълновода има реактивно поле с постоянна амплитуда, което не пренася енергия.

3) При дължина на вълната над критичната (честота под критичната): λ > λкр (f < fкр) константата на разпространение е чисто рeална величина, изцяло равна на коефициента на затихване във вълновода:   и  . Полето бързо затихва и във вълновода вълна не се разпространява.

Теоретично във вълновода могат да се разпространяват вълни с дължина под критичната (честота над критичната) λ < λкр (f > fкр). Работният диапазон се определя от условието за разпространение на необходимия тип вълна.

При зададени размери на вълновода, за да се разпространява само основния мод, дължината на вълната трябва да бъде в границите:

  • за правоъгълния вълновод (Н10) – a < λ < 2a, където а е вътрешният размер на широката стена;
  • за кръглия вълновод (Н11) – 2,613R < λ < 3,413R, където R е вътрешният радиус на цилиндъра.

Когато се налага да се разпространява само някой от висшите модове, се избира дължина на вълната λ < λкр за този мод и λ > λкр за следващия висш мод с по-малка λкр. За неразпространение на по-нисшите модове (с по-голяма λкр) се поставят модови режекторни филтри.

Коефициент на дисперсияРедактиране

 

Дължина на вълната във вълноводаРедактиране

Поради дисперсията дължината на вълната във вълновода е по-голяма от тази в свободното пространство λв > λ:

 

Фазова и групова скоростРедактиране

Фазова скорост е скоростта на изменение на фазата на полето:

 .

Групова скорост е скоростта на разпространение на енергията на полето:

 .

Вълново съпротивлениеРедактиране

За Н-вълни

 

За Е-вълни

 ,

където   е вълновото съпротивление на свободното пространство.

За основните типове вълни в различни вълноводи стойността на вълновото съпротивление е около 500 Ω.

МощностиРедактиране

  • Мощност, пренасяна от типа вълна. Пропорционална е на напречното сечение на вълновода.
  • Пределна мощност – мощността, при която във вълновода настъпва електрически пробив. Това става при пределна напрегнатост на полето, която има най-голяма стойност за въздух – Eпр=30 kV/cm. При твърд диелектрик намалява с увеличаване на относителната диелектрична проницаемост ε'. Затова пределната мощност е най-голяма при кух вълновод, запълнен с въздух. Трябва обаче да се отчита, че пределна напрегнатост на полето във въздуха намалява с намаляване на атмосферното налягане. Това е важно при работа на вълновода в техника на въздушни и космически обекти - с увеличаване на височината нараства вероятността за електрически пробив. За целта вълноводната линия е херметизирана и в нея се поддържа повишено налягане с компресор.
  • Допустима работна мощност – избира се от 3 до 5 пъти по-малка от пределната.

ПредимстваРедактиране

  • малки загуби – нямат вътрешен проводник и допълнителна изолация.
  • няма смущения и допълнително излъчване на енергия.
  • предават се вълни с по-голяма мощност.
  • ниски загуби от скин-ефекта. [3]
  • вероятността за електрически пробив е по-малка от тази при двупроводните линии поради отсъствието на втори проводник. Пробив може да настъпи между стените на вълновода ако напрегнатостта на полето в него достигне и надвиши пределната си стойност за съответната среда на разпространение. Тя е най-голяма за въздух – Eпр = 30 kV/cm. За останалите диелектрици намалява пропорционално на корен квадратен от тяхната относителна диелектрична проницаемост ε'. [1]

ПроектиранеРедактиране

Вълноводите се изработват с размери, определени от международни стандарти. По принцип (но не винаги) стандартните вълноводи са проектирани така:

  • честотните ленти на съседните по размери вълноводи частично се припокриват в краищата си;
  • долната граница на лентата е приблизително 30 % по-висока от критичната честота на вълновода;
  • горната граница на лентата е приблизително 5 % по-ниска от критичната честота на следващия мод от по-висок ред;
  • размерите на широката и тясна страна на правоъгълните вълноводи са в отношение a : b = 2 ÷ 2,3.

Първото условие осигурява използването на алтернативен вълновод в краищата на честотната лента. Второто условие ограничава дисперсията – явление, при което скоростта на разпространение е функция на честотата. Също така ограничава загубите на единица дължина (коефициента на затихване α. Третото условие не позволява разпространението на висши типове вълни. Четвъртото условие осигурява двойна честотна лента λmax ≈ 2λmin. При кръглите вълноводи най-високата възможна ширина на честотната лента, позволяваща да се разпространява само един тип вълна (мод), е само 1,3601 : 1.

Таблица на стандартните правоъгълни вълноводиРедактиране

По-долу е дадена таблицата на стандартните правоъгълни вълноводи. В името на вълновода WR означава правоъгълен вълновод, а числото е вътрешният размер a на широката страна на вълновода в стотни от инча (0,01 инча = 0,254 mm), закръглена до най-близката стотна от инча.

Стандартни размери на правоъгълен вълновод
Име на вълновода Име на честотния диапазон Препоръчителна работна честотна лента (GHz) Критична честота на основния мод (GHz) Критична честота на следващия мод (GHz) Вътрешни размери на отвора на вълновода a х b
EIA RCSC * IEC (inch) (mm)
WR2300 WG0.0 R3 0.32 — 0.45 0.257 0.513 23.000 × 11.500 584.20 × 292.10
WR2100 WG0 R4 0.35 — 0.50 0.281 0.562 21.000 × 10.500 533.40 × 266.7
WR1800 WG1 R5 0.45 — 0.63 0.328 0.656 18.000 × 9.000 457.20 × 228.6
WR1500 WG2 R6 0.50 — 0.75 0.393 0.787 15.000 × 7.500 381.00 × 190.5
WR1150 WG3 R8 0.63 — 0.97 0.513 1.026 11.500 × 5.750 202.10 × 146.5
WR975 WG4 R9 UHF/L 0.75 — 1.15 0.605 1.211 9.750 × 4.875 247.7 × 123.8
WR770 WG5 R12 0.97 — 1.45 0.766 1.533 7.700 × 3.850 195,6 × 97.79
WR650 WG6 R14 L (чaст) 1.15 — 1.72 0.908 1.816 6.500 × 3.250 165.1 × 82.55
WR510 WG7 R18 LA 1.45 — 2.20 1.157 2.314 5.100 × 2.550 129.5 × 64.77
WR430 WG8 R22 1.72 — 2.60 1.372 2.745 4.300 × 2.150 109.2 × 54.61
WR340 WG9A R26 LS 2.20 — 3.30 1.736 3.471 3.400 × 1.700 86.36 × 43.18
WR284 WG10 R32 S (чaст) 2.60 — 3.95 2.078 4.156 2.840 × 1.340  72.14 × 34,94
WR229 WG11A R40 A 3.30 — 4.90 2.577 5.154 2.290 × 1.145 58.17 × 29.08
WR187 WG12 R48 G 3.95 — 5.85 3.153 6.305 1.872 × 0.872  47.55 × 22.2
WR159 WG13 R58 C 4.90 — 7.05 3.712 7.423 1.590 × 0.795 40.38 × 20.2
WR137 WG14 R70 J 5.85 — 8.20 4.301 8.603 1.372 × 0.622  34.90 × 15.8
WR112 WG15 R84 H 7.05 — 10.00 5.260 10.520 1.122 × 0.497  28.50 × 12.6
WR90 WG16 R100 X 8.20 — 12.40 6.557 13.114 0.900 × 0.400  22.9 × 10.2
WR75 WG17 R120 M 10.00 — 15.00 7.869 15.737 0.750 × 0.375 19.1 × 9.53
WR62 WG18 R140 P (Ku) 12.40 — 18.00 9.488 18.976 0.622 × 0.311 15.8 × 7.90
WR51 WG19 R180 N 15.00 — 22.00 11.572 23.143 0.510 × 0.255 13.0 × 6.48
WR42 WG20 R220 K 18.00 — 26.50 14.051 28.102 0.420 × 0.170  10.7 × 4.32
WR34 WG21 R260 22.00 — 33.00 17.357 34.715 0.340 × 0.170 8.64 × 4.32
WR28 WG22 R320 R (Ka) 26.50 — 40.00 21.077 42.154 0.280 × 0.140 7.11 × 3.56
WR22 WG23 R400 Q 33.00 — 50.00 26.346 52.692 0.224 × 0.112 5.68 × 2.84
WR19 WG24 R500 U 40.00 — 60.00 31.391 62.782 0.188 × 0.094 4.78 × 2.39
WR15 WG25 R620 V 50.00 — 75.00 39.875 79.750 0.148 × 0.074 3.76 × 1.88
WR12 WG26 R740 E 60.00 — 90.00 48.373 96.746 0.122 × 0.061 3.10 × 1.55
WR10 WG27 R900 W 75.00 — 110.00 59.015 118.030 0.100 × 0.050 2.54 × 1.27
WR8 WG28 R1200 F 90.00 — 140.00 73.768 147.536 0.080 × 0.040 2.03 × 1,02
WR6, WR7, WR6,5 WG29 R1400 D 110.00 — 170.00 90.791 181.583 0.0650 × 0.0325 1.65 × 0.826
WR5 WG30 R1800 140.00 — 220.00 115.714 231.429 0.0510 × 0.0255 1.30 × 0.648
WR4 WG31 R2200 172.00 — 260.00 137.243 274.485 0.0430 × 0.0215 1.09 × 0.546
WR3 WG32 R2600 220.00 — 330.00 173.571 347.143 0.0340 × 0.0170 0.864 × 0.432
* RCSC – Комитет по стандартизация на радиокомпонентите (Radio Components Standardization Committee)
По исторически причини външните, а не вътрешните размери на тези вълноводи са в отношение 2:1 /с дебелина на стената WG6 – WG10: 0,08" (2,0 mm), WG11A – WG15: 0,064" (1,6 mm), WG16 – WG17: 0,05" (1,3 мм), WG18 – WG28: 1,04" (1,0 мм)/

За честотите в таблицата по-горе, основното предимство на вълноводите над коаксиалните линии е, че вълноводите поддържат разпространението с по-ниски загуби. За по-ниските честоти размерите на вълновода стават непрактически големи, а за по-високите честоти размерите стават непрактически малки (производственият толеранс става значителна част от размера на вълновода).

Особености при изработванетоРедактиране

  • Задължително е вътрешната повърхност да бъде от метал с голяма проводимост, за да има малка дълбочина на проникване на повърхностния ток. Най-често се правят от бронз, възможно е и от мед или алуминий. За увеличаване на проводимостта и намаляване на загубите вътрешната повърхност може да се покрие със сребро, което допълнително оскъпява крайния продукт.
  • Вътрешната повърхност трябва да е гладка. Не бива да има неравности, по-големи от 0,8 до 3,2 микрона в зависимост от дължината на вълната. В противен случай се появяват смущения от възникването на висши типове вълни (модове). Затова се лакира.
  • Критичната дължина на вълната λкр определя ограничения на напречните размери на вълновода, изработван или избиран за определена дължина на вълната λ:
    • При правоъгълния вълновод, за да се разпространява само основният тип вълна Н10, вътрешният размер на широката стена трябва да бъде в границите λ/2 < a < λ, а на тясната – b < λ/2.
    • При кръглия вълновод, за да се разпространява само основният тип вълна Н11, вътрешният радиус на цилиндъра трябва да бъде в границите λ/3,413 < а < λ/2,613. [1]

ИзточнициРедактиране

  1. а б в г д е ж з А. К. Андреев, А. Д. Лазаров – Предавателни линии и СВЧ устройства, ВТС, 1980 г.
  2. ГОСТ 18238-72. Линии передачи сверхвысоких частот. Термины и определения.
  3. а б ((en)) (вълноводи Глава 14 - Линии за пренос)
  4. N. W. McLachlan, Theory and Applications of Mathieu Functions, p. 8 (1947) (reprinted by Dover: New York, 1964).(англ.)
  5. The Theory of Sound, by J. W. S. Rayleigh, (1894)(англ.)
  6. Advanced Engineering Electromagnetics Архив на оригинала от 2009-05-14 в Wayback Machine., by C. A. Balanis, John Wiley & Sons (1989).(англ.)