Отваря главното меню
Гама-функция по дължина на част от реалната ос.

В математиката, гама-функция (Γ) е разширение на факториелната функция до множеството на комплексните числа. Ако n е положително цяло число, то

Гама-функцията е определена за всички комплекси числа, с изключение за неположителните числа. За комплексни числа с положителна реална част, тя се определя чрез сходящ несобствен интеграл:

Тази интегрална функция се разширява чрез аналитично продължение до всички комплексни числа, освен за неположителни числа (където функцията има прости полюси), което води до мероморфната функция, която наричаме гама-функция. Тя няма нули, така че реципрочната гама-функция 1/Γ(z) е холоморфна функция. Всъщност, гама-функцията съответства на трансформацията на Мелин на отрицателна експоненциална функция:

Гама-функцията е компонента в различни функции за разпределение на вероятностите, като например тези, които се използват в областите на теорията на вероятностите, статистиката и комбинаториката.

ОпределениеРедактиране

Основно определениеРедактиране

Нотацията Γ(z) е създадена от Льожандър.[1] Ако реалната част на комплексното число z е положителна (Re(z) > 0), тогава интегралът

 

е абсолютно сходящ и е също познат като Ойлеров интеграл от втори род.[1] Използвайки интегриране по части:

 

Вземайки предвид, че  

 

Може да се изчисли  :

 

Предвид, че   и  

 

за всички положителни цели числа  . Това може да се счете за пример на доказателство чрез индукция.

Тъждеството   може да се използва за да се разшири интегралната формулировка за   до мероморфна функция, определена за всички комплексни числа  , освен за числа, по-малки или равни на нула.[1]

Обикновено, именно под тази разширена версия се разбира гама-функция.[1]

Други определенияРедактиране

Определение на Ойлер като безкрайно произведениеРедактиране

Когато се търси приближение на z! за комплексно число z, се оказва, че е ефективно първо да изчисли n! за някакво голям число n, след което да се използва това за приближение на стойност за (n+z)!, а след това се използва рекурсивна връзка m! = m (m−1)! назад n пъти, за да се развие приближение за z!. Освен това, тази апроксимация е точна в граници, когато n нараства към безкрайност.

По-конкретно, за определено цяло число m, важи

 

и може да се провери дали същата формула важи, когато произволно цяло число m се замени с произволно комплексно число z

 

Умножавайки и двете страни по z!, получаваме

 

Това безкрайно произведение е сходимо за всички комплекси числа z, освен за отрицателните числа, при които рекурсивната връзка m! = m (m−1)! назад чрез стойността m = 0 включва деление на нула.

Подобно за гама-функцията, определението като безкраен продукт на Ойлер е валидно за всички комплексни числа  , освен за неположителни числа:

 

Чрез това построение, гама-функцията е уникалната функция, която едновременно удовлетворява  ,   за всички комплексни числа  , освен за неположителни числа, и   за всички комплексни числа  .[1]

Определението на ВайерщрасРедактиране

Определението на гама-функцията от Карл Вайерщрас е също валидно за всички комплексни числа z, освен за неположителни числа:

 

където   е константата на Ойлер – Маскерони.[1]

По отношение на обобщените полиноми на ЛагерРедактиране

Параметризация на непълната гама-функция по отношение на обобщените полиноми на Лагер е:

 

което е сходимо за   и  .[2]

Нестандартна параметризация на гама-функцията по отношение на полиномите на Лагер е:

  което е сходимо за Re(z) < 1/2.

СвойстваРедактиране

ОбщиРедактиране

Други важни функционални уравнения за гама-функцията са формулата на отражението на Ойлер

 

която предполага

 

и дупликационната формула

 

Дупликационната формула е особен случай на теоремата за мултиплициране.

 

Просто, но полезно свойство, което може да се забележи от определянето на границите, е:

 

В частност, с z = a+bi, това произведение е:

 
 
 

Може би най-известната стойност на гама-функцията при аргумент, който не е цяло число, е:

 

което може да бъде намерено чрез полагане на z = 12 в дупликационанта формула или формулата на отражението, използвайки връзката с бета-функцията, дадена по-долу с x = y = 12, или просто замествайки u = x в интегралното определение на гама-функцията, което води до Гаусов интеграл. По принцип, за неотрицателни стойности на n имаме:

 

където n!! обозначава двойния факториел на n.

Може да е примамливо резултатът да се обобщи до Γ(12) = π, търсейки формула за други индивидуални стойности Γ(r), при които r е рационално число. Обаче, тези числа не са изразими сами по себе си по отношение на елементарните функции. Доказано е, че Γ(n + r) е трансцендентно число и алгебрическо независимо от π за всяко цяло число n и за всяка от дробите r = 16, 14, 13, 23, 34, 56.[3] По принцип, при изчисляването на стойности на гама-функция, е добре да се използват числени приближения.

Друга полезна граница за асимптотично приближение е:

 

Производните на гама-функцията се описват по отношение на полигама-функция. Например:

 

За положително цяло число m производната на гама-функцията може да бъде изчислена така:

 
 
Производна на функцията Γ(z).

Тук γ е константата на Ойлер – Маскерони. За Re(x) > 0, n-тата производна на гама-функцията е:

 

Използвайки тъждеството

 

където ζ(z) е дзета-функция на Риман с части

 

се получава

 

Формула на СтърлингРедактиране

 
Представяне на гама-функцията в комплексна равнина. Всяка точка   е оцветена според аргумента на  . Контурът на модула   също е показан.
 
Абсолютната стойност на гама-функцията върху комплексната равнина.

Поведението на   за нарастваща положителна променлива е просто: функцията нараства бързо – по-бързо от експоненциална функция. Асимптотично докато  , големината на гама-функцията се извежда от формулата на Стърлинг:

 

където символът   означава, че отношението на двете страни е сходимо към 1[1] или е асимптотично сходимо.

ОстатъкРедактиране

Поведението на функцията при неположителни   е по-сложно. Ойлеровият интеграл не е сходящ за  , но функцията, която определя в положителната комплексна равнина, има уникално аналитично продължение към отрицателната равнина. Един начин да се намери това аналитично продължение е да се използва интеграла на Ойлер за положителни аргументи и да се разшири областта до отрицателните числа чрез постоянно прилагане на рекурсивната формула,[1]

 

избирайки такова  , че   да е положително. Произведението в знаменателя е нула, когато   е равно на кое да е от целите числа  . Оттук, гама-функцията трябва да е неопределена в тези точки, за да се избегне деление на нула. Това е мероморфна фнукция с прости полюси при неположителни цели числа.[1]

Това определение може да бъде пренаписано така:

 

За функция   с комплексна променлива  , при прост полюс   остатъкът на   се извежда чрез:

 

Когато  

 

и

 

Така че, остатъците на гама-функцията в тези точки са:

 

Гама-функцията е ненулева навсякъде по дължина на реалната ос, макар че става произволно близка до нула, докато z → −∞. Всъщност, не съществува комплексно число  , за което   и следователно реципрочната гама-функция   е цяла функция с нули при  .[1]

МинимумиРедактиране

Гама-функцията има локален минимум при  , където достига стойност от  . Гама-функцията трябва да има редуващ се знак между полюсите, защото произведението в напредващата рекурсивност съдържа нечетен брой отрицателни коефициенти, ако броят полюси между   и   е нечетен, и четен брой, ако броят полюси е четен.

Разширение чрез ред на ФуериеРедактиране

Логаритъмът на гама-функцията има следното разширение чрез ред на Фурие за  :

 

Формула на РаабеРедактиране

През 1840 г. Йозеф Лудвиг Раабе доказва, че

 

В частност, ако a = 0, тогава

 

Тази формула се използва, когато искаме да получим сходима версия на формулата на Стърлинг. Използвайки пълното трапецоидно правило, може да се покаже, че

 

Пи-функцияРедактиране

Алтернативна нотация, първоначално въведена от Гаус, е пи-функцията, която по отношение на гама-функцията е:

 

така че Π(n) = n! за всяко неотрицателно цяло число n.

Използвайки пи-функция, формулата на отражение приема формата

 

където sinc е нормализираната функция sinc, докато теоремата за мултиплициране приема формата

 

Понякога може да се намери и

 

което е цяла функция, определена за всяко комплексно число, също както и реципрочната гама функция. Това, че   е цяла, ще рече, че няма полюси, така че  , също както и  , няма нули.

Обемът на n-елипсоид с радиуси r1, …, rn може да бъде изразен като

 

Определени стойностиРедактиране

Някои определени стойности на гама-функцията са:

 

Гама-функцията с комплексни стойности е неопределена за неположителни числа, но в тези случаи стойността може да се определени в Риманова сфера като . Реципрочната гама функция е точно определена и аналитична при този стойности (и в цялата комплексна равнина):

 

ИзточнициРедактиране

  1. а б в г д е ж з и к Davis, P. J.. Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function. // American Mathematical Monthly 66 (10). 1959. DOI:10.2307/2309786. Посетен на 3 декември 2016.
  2. Askey, R. A., Roy, R.. Series Expansions. 8.7.
  3. Waldschmidt, M.. Transcendence of Periods: The State of the Art. // Pure Appl. Math. Quart. 2 (2). 2006. DOI:10.4310/pamq.2006.v2.n2.a3. с. 435 – 463.