Eкстремум

най-голяма и най-малка стойност
(пренасочване от Локален минимум)

Eкстремум (от латински: extremum – „краен“) в математиката е максималната или минималната стойност на функцията в дадено множество. Тази точка може да е бъде както локален екстремум, така и глобален екстремум.

Локален и глобален максимум и минимум на функцията cos(3πx)/x, 0.1≤ x ≤1.1

ОпределениеРедактиране

Ако е дадена функцията  , за която  , тогава:

  •   се нарича точка на локален максимум на функцията   ако съществува прекъсната част   такава, че
     
  •  се нарича точка на локален минимум на функцията   ако съществува прекъсната част   такава, че
     

Определение за локален екстремумРедактиране

Ако дефиниционното множество на една функция е интервал, обикновено той може да се раздели на подинтервали, във всеки от който функцията е растяща или намаляваща. Сега да разгледаме поведението на функцията в точка, разделяща два съседни интервала, в които тя от растяща става намаляваща и обратното. В първия подинтервал на снимката функцията намалява, в следващия расте и т.н. Точките, където функцията от растяща става намаляваща и обратното са екстремуми. В достатъчно малка околност на тези точки няма други стойности на функцията, които да са съответно по-малки (по-големи, в когато става въпрос за максимум, а не за минимум) от стойността на функцията в тази точка.

Локален минимумРедактиране

Функцията   има локален минимум в точка   от дефиниционната си област, когато може да се намери достатъчно малка околност  , с   от дефиниционната област на  , в която няма стойноси на  , по-малки от  , т.е.   за   принадлежащо на  , с  .

Локален максимумРедактиране

Функцията f(x) има локален минимум в точка x = c от дефиниционната си област, когато може да се намери достатъчно малка околност (c – ε;c + ε), с ε>0 от дефиниционната област на f, в която няма стойности на f, по-големи от f(c), т.е.

f(x) =< f(c) за x принадлежащо на (c – ε;c + ε), с ε>0.

Необходимо условие за локален екстремумРедактиране

Ако функцията f(x) има екстремум в дадена точка и е диференцируема в тази точка, първата ѝ производна в тази точка е равна на нула.

Достатъчно условие за локален екстремумРедактиране

Ако функцията f(x) е два пъти диференцируема в околност на точката x = x0, при което f'(x0) = 0, а f''(x0) е различно от 0, като f''(x) е непрекъсната в тази точка, функцията има екстремум в точката x = x0 – минимум, когато f''(x0) > 0 и максимум, когато f''(x0) < 0.

ИзточнициРедактиране

  1. Учебник по математика за 12 клас, профилирана подготовка, издателство „Просвета“