Отваря главното меню
Контурна графика на бета-функция.

В математиката, бета-функцията (Β), наричана също и Ойлеров интеграл от първи род, е специална функция, определяна чрез

за Re x > 0, Re y > 0.

Бета-функцията е изучавана от Ойлер и Льожандър, а името ѝ е дадено от Жак Бине.

СвойстваРедактиране

Бета-функцията е симетрична, което ще рече, че[1]

 

Ключово свойство на тази функция е връзката ѝ с гама-функцията.[1]

 

Когато x и y са положителни цели числа, от определението на гама-функцията Γ следва, че:

 

Бета-функцията удовлетворява няколко интересни тъждества, включително:

 

където ttx
+
е прекъсната степенна функция, а звездичката обозначава конволюция.

Най-долното тъждество по-горе показва в частност, че Γ(1 / 2) = π. Някои от тези тъждества, например тригонометричната формула, могат да се приложат при извеждането на обема на n-елипсоида в Декартови координати.

Ойлеровият интеграл за бета-функцията може да се преобразува в интеграл по контур на Покхамер C както следва:

 

Този интеграл е сходящ за всички стойности на α и β и така предоставя аналитично продължение на бета-функцията.

Както гама-функцията за цели числа описва факториелите, бета-функцията може да определя биномен коефициент, след като се нагодят индексите:

 

Освен това, за цяло число n, Β може да приеме такъв коефициент, че да дава затворена форма, функция на интерполация за непрекъснати стойности на k:

 

Бета-функцията е първата позната матрица на разсейване в струнната теория, което е предположено за пръв път от Габриеле Венециано.

Връзка с гама-функциятаРедактиране

За да се изведе интегралното представяне на бета-функцията, произведението на двата факториела трябва да бъде записано като

 

Променянето на променливите u = f(z,t) = zt и v = g(z,t) = z(1 − t) показва, че

 

където |J(z,t)| е абсолютната стойност на детерминантата на матрицата на Якоби за u = f(z,t) и v = g(z,t).

Това тъждество може да бъде разгледано и като частен случай на тъждеството за интеграл от конволюция. Имайки дадени

 

се получава:

 

ПроизводниРедактиране

Имаме

 

където ψ(x) е дигама-функция.

ПриближениеРедактиране

Формулата на Стърлинг дава асимптотичната формула

 

за големи x и y. Ако x е голямо, но y е точно определено, тогава

 

ИзточнициРедактиране

  1. а б Davis (1972) 6.2.2 с.258