Синусовата теорема в тригонометрията изразява пропорционалната зависимост между дължините на страните на триъгълник в равнината и синусите на ъглите срещу тях.

Синусова теорема
Фиг. 1. С описана окръжност.
Фиг. 2. Без описана окръжност.

Ако страните на триъгълника са означени с и , а ъглите срещу тях с и , тогава синусовата теорема гласи:

За всеки триъгълник отношението на коя да е страна и синуса на срещулежащия ъгъл е равно на диаметъра на описаната около триъгълника окръжност:

,

където e радиусът на описаната окръжност, а е нейният диаметър (фиг. 1). Този резултат датира от Птолемей. [1][2]

Теоремата има и обикновен вариант без използване на описаната окръжност, когато последната част от уравнението не се записва (фиг. 2):

Страните на триъгълника са пропорционални на синусите на срещулежащите ъгли:

,

а понякога законът се изразява и с реципрочните стойности:

.

Тези формули се използват, за да се намерят неизвестните страни на триъгълника, ако се знаят 2 ъгъла и третата страна, което е основна задача при триангулацията. Може да се използват и ако са известни две от страните и един от ъглите, но не този сключен между тях. Тогава уравненията ще дадат 2 решения за сключения ъгъл между известните страни: остър и тъп ъгъл, сумата от които е 180°, тъй като за всеки ъгъл важи равенството .

По синусовата теорема може да се определи и радиусът на описаната окръжност около триъгълника, ако се знаят една от страните му и ъгълът срещу нея:

.

При остроъгълен и тъпоъгълен триъгълник диаметърът на описаната окръжност е по-голям от всяка от страните му, а при правоъгълен триъгълник е равен на хипотенузата.

Диаметърът на описаната окръжност може да се определи и чрез Хероновата формула за лице на триъгълника (фиг. 3):

Фиг. 3. Синусова теорема и лице на триъгълника
или
,

където е полупериметърът на триъгълника.

Доказателство

редактиране

Нека е даден триъгълник със страни   и   и срещулежащи ъгли   и   (фиг. 4). От върха   се спуска перпендикуляр към страната   и се обозначава с  . Така се получават 2 правоъгълни триъгълника. За тях са верни равенствата:

 
Фиг. 4. Доказателство на синусова теорема.
  и  .

Следователно

 

и

 .

Същото се получава и ако се спусне перпендикуляр от върха   към страната  

 

и от върха   към страната  

 .

От свързването на последните три равенства се формулира синусовата теорема.

Сферична синусова теорема

редактиране

Сферичната синусова теорема има същата формулировка и се отнася за сферичен триъгълник.

Вижте също

редактиране

Източници

редактиране
  1. Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 1–3, 1967
  2. Law of Sines // Посетен на 2018-09-18.