Косинусовата теорема в геометрията гласи:

Квадратът на коя да е страна в триъгълник е равен на сбора от квадратите на другите две страни минус удвоеното произведение на тези две страни и косинуса на ъгъла, заключен между тях.

Разглежда се триъгълник със страни , и (фиг. 1).

Фиг. 1. Косинусова теорема.

Тогава е в сила равенството

Тук, с се означава ъгълът, заключен между и . За страните и косинусовата теорема изглежда така:

Оттук лесно могат да се изразят и косинусите на дадените ъгли:

.

Когато един от ъглите на триъгълник е прав, косинусовата теорема се свежда до Питагоровата теорема.

Доказателства

редактиране

Доказателство с Пигагорова теорема

редактиране

Нека да разгледаме триъгълника  . От върха   към страната   е спусната височината   (фиг. 2). От триъгълника   следва:

 
Фиг. 2. Доказателство на косинусовата теорема.
 ,
 

Питагоровата теорема за двата триъгълника   и   се записва във вида

 .

Очевидно, десните части на двете уравнения са равни, т.е.

 .

След опростяване се получава

 .

Доказателство с вектори

редактиране

Въвеждат се базисните вектори   и  .

Нека  . По правилото за изваждане на вектори се получава:

 

След повдигане на квадрат се достига до равенството  

От формулата за скаларно произведение на два вектора става ясно, че  

С това теоремата е доказана.

Вижте също

редактиране