Косинусова теорема

Косинусовата теорема е една от теоремите в геометрията и гласи:

Квадратът на коя да е страна в триъгълник е равен на сбора от квадратите на другите две страни минус удвоеното произведение на тези две страни и косинуса на ъгъла, заключен между тях.

Нека разгледаме триъгълник $ABC$ със страни $AB=c$, $BC=a$ и $CA=b$ (вж. Рис. 1).

Рис. 1

Тогава е в сила равенството

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \,\gamma$

Тук, с $\gamma$ означаваме ъгълът, заключен между $a$ и $b$. За страните $b$ и $c$ косинусовата теорема изглежда така:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \,\alpha$

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \,\beta$

Оттук лесно могат да се изразят и косинусите на дадените ъгли:

$\cos \,\alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$

$\cos \,\beta ={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}$

$\cos \,\gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$

Когато един от ъглите на триъгълник е прав, косинусовата теорема се свежда до Питагоровата теорема.

Доказателства

Доказателство с Пигагорова теорема

Нека да разгледаме триъгълника $ABC$. От върха $C$ към страната $AB$ е спусната височината $CD$ (вж. Рис. 2). От триъгълника $ADC$ следва:

Рис. 2

$AD=b\cos \,\alpha$,

$DB=c-b\cos \,\alpha$

Нека да запишем и Питагоровата теорема за двата триъгълника $ADC$ и $BDC$.

${\begin{cases}h^{2}=b^{2}-(b\cos \,\alpha )^{2}\\h^{2}=a^{2}-(c-b\cos \,\alpha )^{2}\end{cases}}$

Очевидно, десните части на двете уравнения са равни, т.е.

$b^{2}-(b\cos \,\alpha )^{2}=a^{2}-(c-b\cos \,\alpha )^{2}$

След опростяване получаваме

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \,\alpha$

Доказателство с вектори

Въвеждаме базисните вектори ${\overrightarrow {CB}}={\vec {a}}$ и ${\overrightarrow {CA}}={\vec {b}}$.

Нека ${\overrightarrow {AB}}={\vec {c}}$. По правилото за изваждане на вектори получаваме:

${\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}$

След повдигане на квадрат достигаме до равенството:

${\vec {c}}^{2}={\vec {a}}^{2}+{\vec {b}}^{2}-2({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})$

От формулата за скаларно произведение на два вектора става ясно, че:

$\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}=\Vert {\vec {a}}\Vert ^{2}+{\Vert {\vec {b}}\Vert }^{2}-2\cdot \Vert {\vec {a}}\Vert \cdot \Vert {\vec {b}}\Vert \cos \angle ({\vec {a}},\ {\vec {b}})$

С това теоремата е доказана.

Вижте също

• Синусова теорема