Косинусова теорема

Косинусовата теорема е една от теоремите в геометрията и гласи:

Квадратът на коя да е страна в триъгълник е равен на сбора от квадратите на другите две страни минус удвоеното произведение на тези две страни и косинуса на ъгъла, заключен между тях.

Нека разгледаме триъгълник със страни , и (вж. Рис. 1).

Рис. 1

Тогава е в сила равенството

Тук, с означаваме ъгълът, заключен между и . За страните и косинусовата теорема изглежда така:

Оттук лесно могат да се изразят и косинусите на дадените ъгли:

Когато един от ъглите на триъгълник е прав, косинусовата теорема се свежда до Питагоровата теорема.

ДоказателстваРедактиране

Доказателство с Пигагорова теоремаРедактиране

Нека да разгледаме триъгълника  . От върха   към страната   е спусната височината   (вж. Рис. 2). От триъгълника   следва:

 
Рис. 2
 ,
 

Нека да запишем и Питагоровата теорема за двата триъгълника   и  .

 

Очевидно, десните части на двете уравнения са равни, т.е.

 

След опростяване получаваме

 

Доказателство с векториРедактиране

Въвеждаме базисните вектори   и  .

Нека  . По правилото за изваждане на вектори получаваме:

 

След повдигане на квадрат достигаме до равенството:

 

От формулата за скаларно произведение на два вектора става ясно, че:

 

С това теоремата е доказана.

Вижте същоРедактиране