Отваря главното меню

Граница на числова редицаРедактиране

Граница на дадена числова редица   е число   точно тогава, когато за всяко произволно малко положително число   може да се намери такова число N(ε), че всички членове аn на редицата с номера n > N(ε) да попадат в интервала (l – ε, l + ε), т.е. да е изпълнено |аn – l| < ε за всички n > N(ε).

 

По-интуитивно определение е следното: Дадено число   е граница на числовата редица  , ако всяка околност („всяка околност“ е интервалът   за произволно  ) съдържа всички членове на редицата с изключение на краен брой.

Ако дадена числова редица притежава граница, тогава редицата се нарича сходяща. В противен случай тя е разходяща. Понякога сходяща числова редица с граница нула се нарича нулева или безкрайно малка редица.

Свойства на сходящите редициРедактиране

  • Ако редиците (an), (bn) и (cn) са сходящи и клонят съответно към a, b, c, то
 
 
 
 

за bn ≠ 0 и   ≠ 0.

  за c = const.
 

при с1 = const, c2 = const.

  при b > 0, a > 0, b ≠ 1.
  при а > 0 и произволно р.

По-общо определение за сходяща редицаРедактиране

Ако   казваме, че L е граница на редицата и го означаваме с
 
 
т.е.: тогава и само тогава, когато за всяко реално число  , съществува естествено число N такова, че за всяко   е изпълнено  
Ако   казваме, че L е граница на редицата и го означаваме с
 
 
т.е.: тогава и само тогава, когато за всяка околност S на L съществува естествено число N такова, че   за всяко  

Ако една редица има граница, казваме, че е сходяща или че редицата клони към някаква граница. В противен случай редицата е разходяща.

ПримериРедактиране

  • Редицата 1, -1, 1, -1, 1, ... е разходяща.
  • Редицата 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... е сходяща и има граница 1. Това е пример за безкраен ред.
  • Ако a е реално число с абсолютна стойност |a| < 1, то редицата an клони към 0. Ако 0 < a ≤ 1, то редицата a1/n клони към 1.

Още:

  при p > 0.

  при |a| < 1.

 .

  при a > 0.