|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Числата на Бернули представляват редица от рационални числа
, открита от Якоб Бернули във връзка с изчислението на сумата на последователните естествени числа, вдигнати на една и съща степен:
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}n^{k}={\frac {1}{k+1}}\sum _{s=0}^{k}{\binom {k+1}{s}}B_{s}N^{k+1-s},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/795caf8fea4261b3dde9d334eab8efa6bb642337)
където
е биномен коефициент.
За числата на Бернули съществува следната рекурсивна формула:
-
-
Получаването на числата на Бернули от Дзета-функцията на Риман.
- Всички нечетни числа на Бернули, с изключение на , са равни на нула, а знаците на четните числа се редуват.
- Числата на Бернули се използват като променливи в полиномите на Бернули. при :
-
- Числата на Бернули често служат като коефициенти за разлагане на елементарни функции в степенни редове:
- ,
- ,
- .
- Ойлер установява връзка между числата на Бернули и променливите в Дзета-функцията на Риман ζ(s) за четни s = 2k:
-
- Също така:
- за всички естествени числа n, по-големи от 1.
-