Числа на Бернули

$\displaystyle {B_{0}=1}$

$B_{1}=-{\frac {1}{2}}$

$B_{2}={\frac {1}{6}}$

$\displaystyle {B_{3}=0}$

$B_{4}=-{\frac {1}{30}}$

$\displaystyle {B_{5}=0}$

$B_{6}={\frac {1}{42}}$

$\displaystyle {B_{7}=0}$

$B_{8}=-{\frac {1}{30}}$

$\displaystyle {B_{9}=0}$

$B_{10}={\frac {5}{66}}$

$\displaystyle {B_{11}=0}$

$B_{12}=-{\frac {691}{2730}}$

$\displaystyle {B_{13}=0}$

$B_{14}=1{\frac {1}{6}}$

$\displaystyle {B_{15}=0}$

$B_{16}=-7{\frac {47}{510}}$

$\displaystyle {B_{17}=0}$

$B_{18}=54{\frac {775}{798}}$

$\displaystyle {B_{19}=0}$

$B_{20}=-529{\frac {41}{330}}$

Числата на Бернули представляват редица от рационални числа $B_{0},B_{1},B_{2},\dots$, открита от Якоб Бернули във връзка с изчислението на сумата на последователните естествени числа, вдигнати на една и съща степен:

$\sum _{n=0}^{N-1}n^{k}={\frac {1}{k+1}}\sum _{s=0}^{k}{\binom {k+1}{s}}B_{s}N^{k+1-s},$

където ${\tbinom {k+1}{s}}={\tfrac {(k+1)!}{s!\cdot (k+1-s)!}}$ е биномен коефициент.

Рекурсивна формула

За числата на Бернули съществува следната рекурсивна формула:

$\displaystyle {B_{0}=1\;,}$

$B_{n}={\frac {-1}{n+1}}\sum _{k=1}^{n}{\binom {n+1}{k+1}}B_{n-k},\quad n\in \mathbb {N} .$

Свойства

Получаването на числата на Бернули от Дзета-функцията на Риман.

• Всички нечетни числа на Бернули, с изключение на ${\textstyle {B_{1}}}$, са равни на нула, а знаците на четните числа се редуват.
• Числата на Бернули се използват като променливи в полиномите на Бернули. ${\textstyle {B_{n}(x)}}$ при ${\textstyle {x=0}}$:

$\displaystyle {B_{n}=B_{n}(0)\;.}$

• Числата на Бернули често служат като коефициенти за разлагане на елементарни функции в степенни редове:
  • ${\frac {x}{e^{x}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n},|x|<2\pi$,
  • $x\;\operatorname {ctg} x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}B_{2n}{\frac {2^{2n}}{(2n)!}}x^{2n},|x|<\pi$,
  • $\operatorname {tg} x=\sum _{n=1}^{\infty }|B_{2n}|{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1},|x|<\pi /2$.
• Ойлер установява връзка между числата на Бернули и променливите в Дзета-функцията на Риман ζ(s) за четни s = 2k:

$B_{2k}=2(-1)^{k+1}{\frac {\zeta (2k)\;(2k)!}{(2\pi )^{2k}}}.$

Също така:

$\displaystyle {B_{n}=-n\zeta (1-n)}\;\;$ за всички естествени числа n, по-големи от 1.

• $\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n-1}dx}{e^{2\pi x}-1}}={\frac {1}{4n}}|B_{2n}|,\quad n=1,2,\dots .$

Литература

• Бернуллиевы числа // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона. Санкт Петербург, 1890 – 1907.
• Абрамович В. Числа Бернулли // Квант, 1974. с. 10 – 14.

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Числа Бернулли“ в Уикипедия на руски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите. ​ ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни.​