Производна на функция е основно понятие в диференциалното смятане, което характеризира скоростта на изменение на функцията.[1] Функция, която има производна, се нарича диференцируема. Понятието е въведено от Нютон и Лайбниц независимо един от друг.

Графиката на функция (в черно) и допирателната (в червено). Диференчното частно на допирателната е равно на производната в дадената точка.

Определение

редактиране

Нека функцията y = f(x) е дефинирана в точка x0 от дефиниционната си област. Нарастването на аргумента (означава се Δx) в този случай се определя като x−x0, а нарастването на функцията (Δy) – като f(x)−f(x0). Тогава, ако съществува граница  , то тя се нарича производна на функцията f(x) в точката x0.

Частното   се нарича диференчно частно.

С други думи производна на функцията f(x) за дадена стойност (x0) се нарича границата (ако съществува) на отношението на нарастването на функцията и нарастването на аргумента х, когато нарастването на аргумента клони към 0  .

Функция, която има производна в точка x, се нарича диференцируема в точка x. Математическото действие, с което се намира производната на една функция, се нарича диференциране.

Означения при диференциране

редактиране

Съществуват различни начини за означаване на производните при диференциране.

Означението за производна представено от Готфрид Лайбниц е едно от първите. То все още се използва когато уравнението y = ƒ(x) се разглежда като функционална зависимост между зависимите и независимите променливи. Първата производна се означава:

  (произнася се „де игрек де хикс“)

Една от най-разпространените означения при диференциране е дело на Жозеф Луи Лагранж. Първата производна се означава:

  (произнася се „еф прим хикс“)

Означение на Нютон

редактиране
 ,  

Означение на Ойлер

редактиране
  – за първа производна,
  – за втора производна, и
  – за n-та производна при n > 1

Изчисляване на производни

редактиране

Правила за диференциране

редактиране
  1. Ако k е константа, то (ku)′ = ku′.
  2. (u+v)′ = u′+v′. Доказателство: Δ(u+v) = u(x+Δx)+v(x+Δx)−u(x)−v(x) = (u(x+Δx)−u(x))+(v(x+Δx)−v(x)) = Δu+Δv.
  3. (u · v)′ = u′ · v + u · v′. Доказателство: Δ(u · v) → u(x + Δx) · v(x + Δx) – u(x) · v(x) → (u(x) + Δu) · (v(x) + Δv) – u(x) · v(x) → u(x) · v(x) + u(x) · Δv + v(x) · Δu + Δu · Δv – u(x) · v(x) → u(x) · Δv + v(x) · Δu + Δu · Δv. (границата е равна на u′ · v + u · v′).
  4.  
  5. (uv)(n)=  – формула на Лайбниц.
  6. (u/v)′ = (u′v−uv′)/v2. Доказателство: Δ(u/v) = u(x + Δx) / v(x + Δx) − u(x) / v(x) = (u(x + Δx)v(x) − u(x)v(x + Δx)) / (v(x)v(x + Δx)) =

(u(x + Δx)v(x) − u(x)v(x) − u(x)v(x + Δx) + u(x)v(x)) / (v(x)v(x + Δx)) = (Δu(x)v(x) – u(x)Δv(x)) / (v(x)v(x + Δx)), границата е равна на (u′v−uv′)/v2.

Производни на някои функции

редактиране
  1.   (константа), защото нарастването на всяка константа е 0.
  2. (ax)′ = ax ln a, в частност, (ex)′ = ex
  3. (logax)′ = 1/(x ln a) (логаритъм), в частност, (ln x)′ = 1/x
  4. (xa)′ = axa−1
  5.  
  6. (sin x)′ = cos x (синус)
  7. (cos x)′ = −sin x (косинус)
  8. (tg x)′ =   (тангенс)
  9. (cotg x)′ =   (котангенс)
  10. (arcsin x)′ =   (аркуссинус)
  11. (arccos x)′ =   (аркускосинус)
  12. (arctg x)′ =   (аркустангенс)
  13. (arcctg x)′ =   (аркускотангенс)

Примерно пресмятане

редактиране

Производната на функцията

 

е равна на:

 

Смисъл на понятието

редактиране

Ако разгледаме скоростта на движение на едно тяло или дебита на една водна тръба или какъвто и да е друг показател, можем да изчислим средното изменение на показателя за определен интервал от време. Ако разгледаме едно тяло и крайните точки на времевия интервал са t и (t0), то средната скорост на тялото ще е изменението в изминатия път към (t- t0) (v = s/t). Колкото по-малък е този времеви интервал, толкова по-близо ще сме до дефиниране на скоростта в момента t0.

Геометричен и физически смисъл на производната

редактиране

Геометрично представяне на понятието

редактиране

Производната на една функция в дадена точка е равна на тангенса от ъгъла, който допирателната към графиката ѝ в тази точка сключва с положителната посока на абсцисната ос.

Скорост на изменението на функцията път

редактиране

Нека   е законът за пътя на праволинейното равномерно движение. Тогава   изразява моментната скорост на движението в момента от времето   Втората производна   изразява ускорението в момента  

Въобще производната на функцията   в точката   изразява скоростта на изменение на функцията в точката  .

Производни от по-висок ред

редактиране

Нека f(x) е диференцуема функция и f′(x) е нейната производна. Производната на f′(x) (ако съществува) се означава като f′'(x) и се нарича втора производна на f(x). Също така производната на втората производна (ако съществува) се нарича трета производна. За някои функции този процес продължава и те имат четвърта и т.н. – производни от по-висок ред.

Функцията f може да няма производна – например, ако не е непрекъсната. Тогава тя може да няма и втора производна. Например нека

 

Елементарно пресмятане показва, че f е диференцуема функция, чиято производна е

 .

f′(x) няма производна в нулата. Подобни примери показват, че една функция може да има k производни за някакво цяло неотрицателно k, но да няма производна от (k + 1)-ви ред.

Вижте също

редактиране