Икосаедърът (на старогръцки: εἴκοσι - 20 и на старогръцки: ἕδρον – основа) е геометрическо тяло с двадесет стени, т.е. "двадесетостен". Правилният икосаедър е платоново тяло и делтаедър: той има 20 триъгълни стени, 12 върха и 30 ръба. Дуалният многостен е додекаедър.

Правилен икосаедър

Правилен икосаедърРедактиране

При дължина на ръба a, площта S, обемът V, радиусите на вписаната и описаната сфери, съответно r и R, се дават с формулите:

площ:  

обем:  

радиус на вписаната сфера:  

радиус на описаната сфера:  

 
Икосаедър вписан в куб

Икосаедър може да се впише в куб, така че всичките му върхове, общо 6 двойки, да лежат върху шестте стени. При това могат лесно да се съобразят стойностите за техните координати:

 

като φ означава стойността на златното сечение, т.е. (1+√5)/2, а дължината на ръбовете е приета за 2.

ИсторияРедактиране

Традиционно откритието или изобретяването на икосаедъра се приписва на древногръцкия математик Теетет. Основание за това дава първото пояснение (схолия) към кн. 13 на 'Елементи'. Автентичността на текста в това място обаче подлежи на съмнение[1]. Спекулира се дали по-рано икосаедърът не е бил известен в древен Египет. За разлика от додекаедъра, който се разпознава в минерални образувания, икосаедърът не е имал естествен първообраз. Вируси и микроорганизми имат икосаедрична (или псевдоикосаедрична) форма, също както атомни клъстери на елемента бор, но те са ненаблюдаеми с невъоръжено око.

Джонсонови тела с 20 стениРедактиране

Шест от Джонсоновите тела са неправилни икосаедри:[2]

J22 J35 J36 J59 J60 J92
 
Жироудължен триъгълен купол
 
Удължен триъгълен ортобикупол ]
 
Удължен триъгълен жиробикупол
 
Парабинадстроен додекаедър
 
Метабинадстроен додекаедър
 
Триъгълна хебесфероротонда
           
16 триъгълника
3 квадрата
 
1 шестоъгълник
8 триъгълника
12 квадрата
8 триъгълника
12 квадрата
10 триъгълника
 
10 петоъгълника
10 триъгълника
 
10 петоъгълника
13 триъгълника
3 квадрата
3 петоъгълника
1 шестоъгълник

Звездовидни икосаедри[3]Редактиране

 
Тринадесет стелации на икосаедъра

ИзточнициРедактиране

  1. Евклид, Елементи, София: Наука и Изкуство, 1972
  2. Icosahedron on Mathworld.
  3. H. S. M. Coxeter, Patrick du Val, H.T. Flather, J.F. Petrie (1938) The Fifty-nine Icosahedra, University of Toronto studies, mathematical series 6: 1–26.