Сфера

Сфера е повърхнина в пространството, която се получава чрез въртене на окръжност около неин диаметър; центърът на завъртяната окръжност е център и на сферата, а радиусът на завъртяната окръжност е равен на радиусът на сферата. Сферата може да се опише и като множеството от всички точки в пространството, които са на еднакво разстояние (наричано радиус на сферата) от фиксирана точка (наричана център на сферата). Често и всяка отсечка, която свързва центъра на сферата с произволна нейна точка, се нарича радиус.

Сфера

Кълбо

Обединението от точките върху сферата и тези във вътрешността ѝ се нарича кълбо.

Общият случай на сфера в n-мерно пространство е повърхнина с n – 1 измерения. Вътрешността ѝ съответно е n-мерно кълбо.

Сфера се отнася към кълбо в триизмерното пространство, както окръжност към кръг в двуизмерното.

Взаимни положения на права, равнина и сфера

Всяка права може да има с дадена сфера 0, 1 или 2 общи точки.

Когато правата има 2 общи точки със сферата, тя е секуща. Отсечката, чиито краища са двете пресечни точки, се нарича хорда на сферата. Хорда, минаваща през центъра, се нарича диаметър и той е равен на 2r.

Когато правата има само една обща точка със сферата, тя се нарича допирателна, а общата точка се нарича допирна точка. Всяка допирателна е перпендикулярна на радиуса, който свързва центъра на сферата с допирната точка. Валидно е и обратното твърдение. Всички допирателни към сфера във фиксирана нейна точка лежат в една равнина, която се нарича допирателна равнина.

Всяка равнина, която не е допирателна към сферата, или няма общи точки с нея, или я пресича по окръжност. Тази окръжност се нарича голяма окръжност, когато секущата равнина минава през центъра на сферата, и малка окръжност, когато тя не минава през центъра.

Части на сфера

Всяка равнина, която пресича сфера, разделя сферичната повърхнина на две сферични шапки, а кълбото – на два сферични сегмента. Ако равнината минава през центъра на сферата, се получават 2 полусфери и 2 полукълба.

Ако две успоредни равнини пресичат сфера, те отсичат от сферичната повърхнина сферичен пояс, а от кълбото – сферичен слой.

Когато един радиус се хлъзга по дадена окръжност от сферата, кълбото се разделя на два сферични сектора.

Две равнини през центъра на сферата я разделят на четири сферични двуъгълника, а кълбото – на четири сферични клина.

Свойства

Координатите на точките на сфера с център в началото на координатната система удовлетворяват уравнението:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$.

Когато центърът на сферата е в произволна точка с координати $(x_{0},y_{0},z_{0})$, то уравнението е:

$(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}$.

Координатите на сфера в n-мерно линейно пространство с метрика скаларното произведение са свързани с уравнението:

$\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}=r^{2}$.

Лицето на сфера с радиус r в триизмерното евклидово пространство е:

$S=4\pi r^{2}.$

Обемът на кълбо с радиус r се пресмята по формулата

$V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$

Точките от сфера с радиус r се представят параметрично по следния начин:

$x=x_{0}+r\cos \theta \;\sin \phi ,$

$y=y_{0}+r\sin \theta \;\sin \phi \qquad (0\leq \theta \leq 2\pi {\mbox{ and }}0<\phi \leq \pi )\,$

$z=z_{0}+r\cos \phi$

(Вижте също тригонометрична функция и сферични координати.)

Сфера с произволен радиус с център в началото на координатната система се описва със следното диференциално уравнение:

$x\,dx+y\,dy+z\,dz=0.$

Преносно значение

Думата „сфера“ се използва и в преносно значение, в смисъл на област на разпространение или развитие.

Вижте също

• Сфероид
• Цилиндрични координати
• Тригонометрична функция