Магнитостатика

Магнитостатиката е раздел от класическата електродинамика, който изследва взаимодействието на постоянните токове чрез постоянното магнитно поле, създадено от тях, и методите за изчисляване на магнитното поле в този случай. Това е магнитният аналог на електростатиката, където зарядите са стационарни. Магнетизацията не е нужно да е статична. Уравненията на магнитостатиката могат да се използват за предсказване на бързи събития на обръщане на магнетизацията, които възникват във времеви мащаб от наносекунди или по-кратко. Магнитостатиката служи като добро приближение дори, когато токовете не са постоянни, стига да не се променят бързо. Магнитостатиката се използва широко в практиката на микромагнетизма, например при моделите на магнитозаписващи устройства. Магнитостатично фокусиране може да бъде постигнато чрез постоянен магнит или чрез подаването на електрически ток през намотка, чиято ос съвпада с оста на излъчване.

Приложение

Магнитостатиката като частен случай на уравненията на Максуел

Започвайки от уравненията на Максуел и считайки зарядите за фиксирани или плавно движещи се под формата на ток $\scriptstyle \mathbf {J}$, уравненията се разделят на две за електричното поле и две за магнитно поле. Полетата са независими от времето и едно от друго. Магнитостатичните уравнения в диференциална и интегрална форма са показани в таблицата долу.

Име	Форма
	Частно диференциално уравнение	Интеграл
Закон на Гаус за магнетизма	$\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {B} =0$	$\oint _{S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0$
Закон на Ампер	$\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} =\mathbf {J}$	$\oint _{C}\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =I_{\mathrm {enc} }$

Там където ∇ с точка обозначава дивергенция, а B е плътността на магнитния поток, първият интеграл е по площ $\scriptstyle S$ с ориентиран повърхностен елемент $\scriptstyle d\mathbf {S}$. Там където ∇ с кръстче обозначава ротор, а J е плътността на тока и H е интензитета на магнитното поле, вторият интеграл е линеен по затворен контур $\scriptstyle C$ с линеен елемент $\scriptstyle \mathbf {l}$. Токът, преминаващ през контура, е $\scriptstyle I_{\text{enc}}$.

Качеството на това приближение може да се познае чрез сравняване на горните уравнения с пълната формулировка на уравненията на Максуел и вземайки предвид важността на членовете, които са били премахнети. От особено значение е сравнението на члена $\scriptstyle \mathbf {J}$ с $\scriptstyle \partial \mathbf {D} /\partial t$. Ако $\scriptstyle \mathbf {J}$ е значително по-голям, тогава по-малкият член може да бъде игнориран без особено загуба на точност.

Използване на закона на Фарадей

Широко използвана техника е да се решават на ред магнитостатични задачи на нарастващи времеви стъпки и след това да се използват тези решения за апроксимация на члена $\scriptstyle \partial \mathbf {B} /\partial t$. Включвайки този резултат в закона на Фарадей дава стойност на $\scriptstyle \mathbf {E}$ (който преди това не се взема предвид). Този метод не е истинско решение на уравненията на Максуел, но може да предостави добро приближение за бавно променящи се полета.

Решаване на магнитното поле

Източници на ток

Ако всички токове в дадена система са известни (тоест ако е налично пълно описание на токовата плътност $\scriptstyle \mathbf {J} (\mathbf {r} )$), тогава магнитното поле може да се определени в позиция r от токовете чрез уравнението на Био-Савар:

$\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\times \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$

Тази техника работи добре за задачи, където средата е вакуум или въздух или някакво подобно вещество с относителна магнитна проницаемост около 1. Това включва индуктори и трансформатори с въздушна сърцевина. Едно предимство на тази техника е, че ако намотката има сложна геометрия, тя може да се раздели на части и интегралът да се изчисли за всяка част. Това уравнение се използва основно за решаване на линейни задачи. За много сложна геометрия може да се използва числено интегриране.

За задачи, при които основното магнитно вещество е високопроницаемо магнитно ядро с относително малки въздушни празнини, е позлезен подходът на магнитна верига. Когато въздушните празнини са големи по отношение на дължината на магнитната верига, магнитното отблъскване става значително и изисква прилагането на изчисления чрез метода на крайните елементи. Този метод използва променена форма на магнитостатичните уравнения по-горе, за да се изчисли магнитният потенциал. Стойността на $\scriptstyle \mathbf {B}$ може да се намери от магнитния потенциал.

Магнитното поле може да се изведе от векторния потенциал. Тъй като дивергенцията на магнитния поток е винаги нула,

$\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} ,$

и отношението на векторния потенциал към тока е:

$\mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {{\frac {\mathbf {J(\mathbf {r} ')} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}.$

Магнетизация

Силно магнитните материали (феромагнитни, феримагнитни или парамагнитни) имат магнетизация, която се дължи главно на електронен спин. При такива материали магнетизацията трябва е изрично включена чрез отношението

$\mathbf {B} =\mu _{0}(\mathbf {M} +\mathbf {H} ).$

Освен при метали, електричните токове могат да не се вземат предвид. Тогава законът на Ампер е просто

$\nabla \times \mathbf {H} =0.$

Това има общо решение

$\mathbf {H} =-\nabla \Phi _{M},$

където $\Phi _{M}$ е скаларен потенциал. Замествайки това в закона на Гаус, се получава

$\nabla ^{2}\Phi _{M}=\nabla \cdot \mathbf {M} .$

Оттук, дивергенцията на магнетизацията, $\scriptstyle \nabla \cdot \mathbf {M}$, има роля аналогична на електричния заряд в електростатиката и често се нарича ефективна плътност на заряда $\rho _{M}$.

Методът на векторния потенциал също може да се приложи с ефективна плътност на тока:

$\mathbf {J_{M}} =\nabla \times \mathbf {M} .$