Числото е математическа константа, ирационално и трансцендентно число, което е основата на натуралните (естествените) логаритми на Непер. Нарича се Неперово число или Ойлерово число. Открито е от Бернули като граница на (1 + 1/n)n когато се доближава до безкрайност – израз, който възниква при изчисляване на сложна лихва. Може да се изчисли и като сума от числата на безкрайната редица . Въведено е като число и означение от Ойлер.

Ирационални числа
ζ(3) — ρ — √2 — √3 — √5 — ln 2 — φ,Φ — ψ — α,δ — e — eπ и π
Бройна система Означение на числото
Двоична 10,101101111110000101010001011001…
Десетична 2,7182818284590452353602874713527…
Шестнадесетична 2,B7E151628AED2A6A…
Шестдесетична 2; 43 05 48 52 29 48 35 …
Рационални приближения 8/3; 11/4; 19/7; 87/32; 106/39; 193/71; 1264/465; 2721/1001; 23225/8544

(изчислено в ред на увеличение на точността)

Верижна дроб [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, …]

(Дробта не е периодична. Записана е в линейна нотация.)


Числото е една от най-важните константи в математиката. Възниква естествено при описанието на различни процеси в природните и обществените науки.

 е такова число, за което производната (тангенс от ъгъла на наклона на допирателната) на показателната функция f (x) = ex (синя линия) в точка x = 0 е равна на 1 (допирателна — червена линия). За сравнение са показани функциите f (x) = 2x (точкова линия) и f (x) = 4x (пунктирна крива), чиито производни не са равни на 1 при
x = 0.

История редактиране

Числото   се нарича Неперово число в чест на шотландския учен Джон Непер – автор на съчинението „Описание на удивителните таблици на логаритмите“ (1614 г.). Това не е съвсем правилно, тъй като в него логаритъмът на   е равен на

 .

Числото   негласно присъства в приложение към превода на английски език на споменатата работа на Непер. В тази работа има само таблица на естествените логаритми, а за числото   не е дадено определение. Предполага се, че автор на приложението е английският математик Уилям Оутред. Самото число   е получено за първи път от Якоб Бернули при опит да изчисли границата

 .

Първото известно използване на тази константа (с друго обозначение) се среща в писмата на Лайбниц до Хюйгенс (около 1691 г.). Буквата   първи използва Леонард Ойлер през 1727 г., а първата публикация с тази буква е неговата „Механика, или наука за движението, изложена аналитично“. Поради това числото   понякога се нарича Ойлерово число. Смята се, че буквата „ “ е избрана в чест на Ойлер (Euler)[1]. Друга възможна причина е, че с нея започва думата „експонента“ (показател).

Дефиниции редактиране

Числото   може да бъде определено по два равносилни начина:

  • като граница на числова редица:
 ;
 ;
  • като сума на безкраен числов ред:
 .

Други определения на числото e редактиране

 
 
 ;
 ;
 .

Свойства редактиране

През 1737 г. Ойлер е доказал, че Неперовото число е ирационално, а през 1879 г. Ермит е установил, че то е трансцендентно.

Връзката между Неперовото число и   се вижда от формулата на Ойлер:

 

В математическия анализ особено значение има експоненциалната функция  , която съвпада със своята производна:

 

Още една връзка между числата   и   се получава при пресмятане на интеграла на Поасон:

 .
  • За всяко комплексно число   са изпълнени следните равенства:
 .

Числото   се разлага в безкрайна верижна дроб по следния начин:

 

т.е.

 

Приложения редактиране

Сложна лихва редактиране

Якоб Бернули открива числото   през 1685 г. при изучаване на сложната лихва.[2]

Нека има 1 лев в банкова сметка с годишна лихва 100 %. Ако сметката се олихвява веднъж годишно, то след изтичане на годината ще има 2 лева. Колко лева ще има в края на годината, ако лихвата се начислява на по-къси интервали (и се натрупва към сметката)?

Ако лихвата се начислява веднъж на 6 месеца от годината (по 50 % на шестмесечие), то в края на годината ще получим 2,25 лв. Ако лихвата се начислява ежемесечно (по 100 %: 12 = 8,33 % на месец), то в края на годината ще имаме 2,61 лв. Ако лихвата се начислява ежедневно (по 100 %: 365 = 0,274 % на ден), то в края на годината ще имаме 2,71 лв. Колкото по-често се олихвява сметката, толкова по-голяма сума се получава. Обаче крайният резултат не расте неограничено. Бернули забелязал, че резултатът не надхвърля определена граница, а именно 2,72 лв., към която стойност се приближава паричната сума в края на годината, когато сметката се олихвява все по-често и по-често. Именно тази гранична стойност 2,718281828459045... лв. е Неперовото или Ойлерово число.

Доказателство за ирационалността на числото e редактиране

Да допуснем противното: че   е рационално. Тогава  , където   е цяло, а   е естествено число. Понеже   не е цяло число, то  . Следователно

 

Умножаваме по   и получаваме

 

Прехвърляме   от другата страна:

 

Всички събираеми в дясната страна са цели числа, следователно

  също е цяло (положително) число, затова
 .

Обаче 

 , тоест

 , което е противоречие.

Първите 200 цифри на числото e редактиране

 
 
 
 .

Вижте също редактиране

Източници редактиране

  1. Sondow, Jonathan – Wolfram Mathworld. "e", Wolfram Research.
  2. The number e // MacTutor History of Mathematics.

Външни препратки редактиране

Доказателство за транцендентността на числото   (planetmath.org, англ.) Архив на оригинала от 2011-08-15 в Wayback Machine.