Отваря главното меню

Неперово число се нарича ирационалното число = 2,718281828459045...

То е една от най-важните константи в математиката. Възниква естествено при описанието на различни процеси в природните и обществените науки. Числото е основата на естествените (натуралните) логаритми.

ИсторияРедактиране

Числото   се нарича Неперово число в чест на шотландския учен Джон Непер – автор на съчинението „Описание на удивителните таблици на логаритмите“ (1614 г.). Това не е съвсем правилно, тъй като в него логаритъмът на   е равен на

 

Числото   негласно присъства в приложение към превода на английски език на споменатата работа на Непер. В тази работа има само таблица на естествените логаритми, а за числото   не е дадено определение. Предполага се, че автор на приложението е английският математик Уилям Оутред. Самото число   е получено за първи път от Якоб Бернули при опит да изчисли границата

 .

Първото известно използване на тази константа (с друго обозначение) се среща в писмата на Лайбниц до Хюйгенс (около 1691 г.). Буквата   първи използва Ойлер през 1727 г., а първата публикация с тази буква е неговата „Механика, или наука за движението, изложена аналитично“. Поради това числото   понякога се нарича „число на Ойлер“. Не е известно защо е избрана точно тази буква. Най-вероятната причина е, че с нея започва думата „експонента“ (показател).

ДефиницияРедактиране

Числото   може да бъде дефинирано по два равносилни начина:

  • като граница на числова редица:  ;
  • като сума на безкраен числов ред:   .

СвойстваРедактиране

През 1737 г. Ойлер е доказал, че Неперовото число е ирационално, а през 1879 г. Ермит е установил, че то е трансцендентно.

Връзката между Неперовото число и   се вижда от формулата на Ойлер:

 

В математическия анализ особено значение има експоненциалната функция  , която съвпада със своята производна:

 

Още една връзка между числата   и   се получава при пресмятане на интеграла на Поасон:

 .
  • За всяко комплексно число   са изпълнени следните равенства:
 .

Числото   се разлага в безкрайна верижна дроб по следния начин:

 

т.е.

 

ПриложенияРедактиране

Сложна лихваРедактиране

Якоб Бернули открил числото   през 1685 г. при изучаване на сложната лихва.[1]

Нека имаме 1 лев в банкова сметка с годишна лихва 100%. Ако сметката се олихвява веднъж годишно, то след изтичане на годината ще имаме 2 лева. Колко лева ще имаме в края на годината, ако лихвата се начислява на по-къси интервали (и се натрупва към сметката)?

Ако лихвата се начислява веднъж на 6 месеца от годината (по 50% на шестмесечие), то в края на годината ще получим 2,25 лв. Ако лихвата се начислява ежемесечно (по 100%: 12 = 8,33% на месец), то в края на годината ще имаме 2,61 лв. Ако лихвата се начислява ежедневно (по 100%: 365 = 0,274% на ден), то в края на годината ще имаме 2,71 лв. Колкото по-често се олихвява сметката, толкова по-голяма сума се получава. Обаче крайният резултат не расте неограничено. Бернули забелязал, че резултатът не надхвърля определена граница, а именно 2,72 лв., към която стойност се приближава паричната сума в края на годината, когато сметката се олихвява все по-често и по-често. Именно тази гранична стойност 2,718281828459045... лв. е Неперовото число. Наречено е в чест на Джон Непер – изобретателя на логаритмите.

Други представяния на числото eРедактиране

 
 
 
 

Доказателство за ирационалността на числото eРедактиране

Да допуснем противното: че   е рационално. Тогава  , където   е цяло, а   е естествено число. Понеже   не е цяло число, то  .

Следователно

 

Умножаваме по   и получаваме

 

Прехвърляме   от другата страна:

 

Всички събираеми в дясната страна са цели числа, следователно

  също е цяло (положително) число, затова
 .

Обаче 

 , тоест

 , което е противоречие.

Първите 200 цифри на числото eРедактиране

 
 
 
 .

Вижте същоРедактиране

ИзточнициРедактиране

  1. The number e. // MacTutor History of Mathematics.

Външни препраткиРедактиране