Трите височини на всеки триъгълник се пресичат в една точка, която се нарича ортоцентър. Ортоцентърът лежи вътре в триъгълника, само ако той е остроъгълен (трите му вътрешни ъгли са по-малки от 90°). Когато триъгълникът е тъпоъгълен, ортоцентърът лежи вън от него, а когато е правоъгълен – съвпада с върха, при който е правият ъгъл.

СвойстваРедактиране

Трите височини в един триъгълник се пресичат в една точкаРедактиране

Ще разгледаме две доказателства. Нека  ,   и  .

Доказателство с окръжности

Означаваме  . Понеже  , то четириъгълникът   е вписан в окръжност. Тогава  . В четириъгълникът  ,  , следователно и той е вписан. Това означава, че  . От   и   става ясно, че  . Нека сега  . В триъгълник  ,   и  , следователно  . С това доказахме, че трите височини се пресичат в една точка.

Доказателство с вектори

От тъждеството на Ойлер имаме Понеже скаларното произведение на два перпендикулярни вектора е равно на нула, то стигаме до извода, че

 

откъдето и

 

Следователно трите височини се пресичат в една точка.

Еднакви окръжностиРедактиране

Нека   е ортоцентърът на триъгълник  . Тогава окръжностите, описани около триъгълниците   и  , са еднакви.

Доказателство

Нека  . Тогава  . Прилагаме синусовата теорема за триъгълниците   и  :

 

където   и   са радиусите на окръжностите, описани съответно около триъгълниците   и  .

Но  , следователно системата придобива следния вид:

 

откъдето става ясно, че  , т.e. окръжностите са еднакви.

Аналогично може да се покаже, че   и  

Права на ОйлерРедактиране

Ортоцентърът, центърът на описана окръжност, медицентърът и центърът на Окръжността на деветте точки лежат на една права - права на Ойлер. Центърът на Окръжността на деветте точки съвпада със средата на отсечката, свързваща ортоцентъра с центъра на описаната окръжност, а разстоянието между медицентъра и центъра на описаната окръжност е половината от това между медицентъра и ортоцентъра.