Аналитична функция

В математиката под аналитична функция се разбира функция, която е зададена локално със сходящ степенен ред. Аналитичните функции представляват своеобразно обобщение на полиномите. Прави се разлика между аналитична функция на реална променлива и аналитична функция на комплексна променлива (холоморфна функция). Макар че и двата вида имат някои общи свойства (например диференцируемост), холоморфните функции притежават допълнителни свойства, които липсват при аналитичните функции на реална променлива.

Определение

Една функция е реална аналитична в отвореното множество D от реалната права, ако за всяка точка $x_{0}\in D$ е възможно представяне по следния начин:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+a_{3}(x-x_{0})^{3}+\cdots {,}$

където коефициентите a₀, a₁, ... са реални числа и степенният ред е сходящ за всяко x в околност на x₀.

Казано по друг начин, аналитична функция е безкрайно диференцируема функция в D, чиито тейлъров ред във всяка точка x₀ в D

$T(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}$

е сходящ за всяко x в околност на x₀ и е равен на f(x).

Определението за комплексна аналитична функция се получава като заменим реална права с комплексна равнина в горните редове.

Примери

• Всеки комплексен полином (от степен n) е аналитичен. Това се дължи на факта, че коефициентите пред членовете от степен по-висока от n са нули и полиномът съвпада с тейлоровия си ред.

• Показателната функция е аналитична, защото нейният тейлоров ред е сходящ навсякъде в дефиниционната ѝ област.

• Тригонометричните функции, логаритъмът, и степенната функция са аналитични във всяко отворено подмножество на дефиниционната си област.

• Функцията абсолютна стойност върху реалната права или комплексната равнина не е аналитична, понеже не е диференцируема в 0.

• Функцията комплексно спрягане $z\rightarrow {\overline {z}}$ не е аналитична в $\mathbb {C}$, макар че е в $\mathbb {R}$.

Свойства на аналитичните функции

• Сбор, произведение и композиция на аналитични функции е аналитична функция.
• Реципрочната функция на аналитична функция, която не се анулира, е аналитична.
• Ако функцията f е аналитична в точката $x\in D$, то тя притежава производни от произволен ред в $x\in D$. Обратното твърдение не е вярно.
• За всяко отворено множество Ω ⊆ C, множеството A(Ω), съдържащо всички ограничени аналитични функции u : Ω → C е банахово пространство спрямо супремум-нормата. Че границата на равномерно сходяща редица от аналитични функции е аналитична функция, се доказва в (при поставените условия) чрез теоремата на Морера.

Вижте също

• Холоморфна функция

Литература

• Теория на аналитичните функции, Татяна Аргирова, Университетско изд. „Св. Климент Охридски“, 1992