Аналитична функция

В математиката под аналитична функция се разбира функция, която е зададена локално със сходящ степенен ред. Аналитичните функции представляват своеобразно обобщение на полиномите. Прави се разлика между аналитична функция на реална променлива и аналитична функция на комплексна променлива (холоморфна функция). Макар че и двата вида имат някои общи свойства (например диференцируемост), холоморфните функции притежават допълнителни свойства, които липсват при аналитичните функции на реална променлива.

ОпределениеРедактиране

Една функция е реална аналитична в отвореното множество D от реалната права, ако за всяка точка   е възможно представяне по следния начин:

 

където коефициентите a0, a1, ... са реални числа и степенният ред е сходящ за всяко x в околност на x0.

Казано по друг начин, аналитична функция е безкрайно диференцируема функция в D, чиито тейлъров ред във всяка точка x0 в D

 

е сходящ за всяко x в околност на x0 и е равен на f(x).

Определението за комплексна аналитична функция се получава като заменим реална права с комплексна равнина в горните редове.

ПримериРедактиране

  • Всеки комплексен полином (от степен n) е аналитичен. Това се дължи на факта, че коефициентите пред членовете от степен по-висока от n са нули и полиномът съвпада с тейлоровия си ред.
  • Функцията абсолютна стойност върху реалната права или комплексната равнина не е аналитична, понеже не е диференцируема в 0.
  • Функцията комплексно спрягане   не е аналитична в  , макар че е в  .

Свойства на аналитичните функцииРедактиране

  • Сбор, произведение и композиция на аналитични функции е аналитична функция.
  • Реципрочната функция на аналитична функция, която не се анулира, е аналитична.
  • Ако функцията f е аналитична в точката  , то тя притежава производни от произволен ред в  . Обратното твърдение не е вярно.
  • За всяко отворено множество Ω ⊆ C, множеството A(Ω), съдържащо всички ограничени аналитични функции u : Ω → C е банахово пространство спрямо супремум-нормата. Че границата на равномерно сходяща редица от аналитични функции е аналитична функция, се доказва в (при поставените условия) чрез теоремата на Морера.

Вижте същоРедактиране

ЛитератураРедактиране

  • Теория на аналитичните функции, Татяна Аргирова, Университетско изд. „Св. Климент Охридски“, 1992