Отваря главното меню
Колкото по-голяма е степента на реда на Тейлър, толкова по-близо са неговите стойности до истинската функция. Тук е показана графиката на и развития по Тейлър от степен 1, 3, 5, 7, 9, 11 и 13.

Ред на Тейлър или развитие по Тейлър е апроксимация на реална или комплексна функция чрез представянето ѝ като безкраен ред с общ член, изчислен от стойностите на производните на функцията в дадена точка. Това е възможно като пряко следствие на теоремата на Тейлър.

Ако функцията е безброй пъти диференцируема в отворения интервал (ar, a + r), тогава нейното развитие по Тейлър е степенният ред

(тук f(n)(a) e n-тата производна на функцията, като нулевата е самата функция).

Редът е кръстен на английския математик Брук Тейлър. В случая, когато a = 0, редът се нарича ред на Маклорен на името на шотландския математик Колин Маклорен (Colin Maclaurin).

Функции, които са точно равни на развитието си в ред на Тейлър в произволна точка a, се наричат аналитични функции. Пример за такива са тригонометричните функции синус и косинус. Редът на Тейлър може да се използва, за да се получат всички стойности на аналитична функция, ако се знаят нейната стойност и стойностите на всичките ѝ производни в дадена точка.

На графиката вдясно е илюстрирано развитието по Тейлър за функцията y = sinx. Жълтата крива е от седма степен и е графика на

Редът на Тейлър се използва широко в приложната математика и математическия анализ. Някои от приложенията му са:

  • директно получаване на приблизителна стойност на функция;
  • доказателство на теореми от математическия анализ.

Съдържание

ИсторияРедактиране

Най-ранното използване на степенни редове, включително и някои развития по Тейлър, датира от XIV в. от индийския математик Мадхава Сангамаграма. Той използва апроксимации по Тейлър за синус, косинус, тангенс и аркустангенс, но не генерализира редовете.

В края на XVII в. Джеймс Грегъри също работи в тази посока и публикува няколко реда на Маклорен, но не вижда обобщението.

През 1715 г. Брук Тейлър доказва и генреализира теоремата си, пряко следствие на която е този обобщен ред.

Колин Маклорен изследва специалния случай във втората половина на XVII в.

Развитие на някои прости функцииРедактиране

 
 
 
 
 
 
 
където B са числа на Бернули.
 
където E са числа на Ойлер.
 
 
 
 
 
 
 

ИзчисляванеРедактиране

Има редица методи за изчисляване на реда на Тейлър за достатъчно голям брой функции. Редът може да се ползва така, както е даден за основните функции, а усилията да се насочат в генерализирането на коефициентите. Освен това, тъй като редът на Тейлър в общия случай е степенен, може да се използват неговите свойства за свободно умножение, деление, събиране и изваждане на основните редове. В някои случаи най-доброто решение е редът да се интегрира последователно няколко пъти.

Вижте същоРедактиране

Външни препраткиРедактиране