Ред на Тейлър или развитие по Тейлър е апроксимация на реална или комплексна функция чрез представянето ѝ като безкраен ред с общ член, изчислен от стойностите на производните на функцията в дадена точка. Това е възможно като пряко следствие на теоремата на Тейлър .
Колкото по-голяма е степента на реда на Тейлър, толкова по-близо са неговите стойности до истинската функция. Тук е показана графиката на
sin
x
{\displaystyle \sin x}
и развития по Тейлър от степен 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 и 13 .
Ако функцията е безброй пъти диференцируема в отворения интервал (a − r , a + r ), тогава нейното развитие по Тейлър е степенният ред
∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
(
a
)
n
!
(
x
−
a
)
n
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}.}
(тук f(n) (a) e n-тата производна на функцията, като нулевата е самата функция).
Редът е кръстен на английския математик Брук Тейлър . В случая, когато a = 0, редът се нарича ред на Маклорен на името на шотландския математик Колин Маклорен (Colin Maclaurin).
Функции, които са точно равни на развитието си в ред на Тейлър в произволна точка a , се наричат аналитични функции . Пример за такива са тригонометричните функции синус и косинус . Редът на Тейлър може да се използва, за да се получат всички стойности на аналитична функция, ако се знаят нейната стойност и стойностите на всичките ѝ производни в дадена точка.
На графиката вдясно е илюстрирано развитието по Тейлър за функцията y = sinx . Жълтата крива е от седма степен и е графика на
sin
(
x
)
≈
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
x
7
7
!
.
{\displaystyle \sin \left(x\right)\approx x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}.}
Редът на Тейлър се използва широко в приложната математика и математическия анализ . Някои от приложенията му са:
директно получаване на приблизителна стойност на функция;
доказателство на теореми от математическия анализ.
Най-ранното използване на степенни редове, включително и някои развития по Тейлър, датира от XIV в. от индийския математик Мадхава Сангамаграма. Той използва апроксимации по Тейлър за синус , косинус , тангенс и аркустангенс , но не генерализира редовете.
В края на XVII в. Джеймс Грегъри също работи в тази посока и публикува няколко реда на Маклорен, но не вижда обобщението.
През 1715 г. Брук Тейлър доказва и генреализира теоремата си , пряко следствие на която е този обобщен ред.
Колин Маклорен изследва специалния случай във втората половина на XVII в.
e
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
,
∀
x
{\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\quad ,\forall x}
ln
(
1
+
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
n
+
1
x
n
+
1
,
|
x
|
<
1
{\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}x^{n+1}\quad ,\left|x\right|<1}
x
m
1
−
x
=
∑
n
=
m
∞
x
n
,
|
x
|
<
1
{\displaystyle {\frac {x^{m}}{1-x}}=\sum _{n=m}^{\infty }x^{n}\quad ,\left|x\right|<1}
(
1
+
x
)
α
=
∑
n
=
0
∞
(
α
n
)
x
n
,
∀
|
x
|
<
1
,
∀
α
∈
C
{\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n}\quad ,\forall \left|x\right|<1\quad ,\forall \alpha \in C}
sin
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
!
x
2
n
+
1
,
∀
x
{\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad ,\forall x}
cos
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
x
2
n
,
∀
x
{\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad ,\forall x}
tg
x
=
∑
n
=
1
∞
B
2
n
(
−
4
)
n
(
1
−
4
n
)
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
=
x
+
x
3
3
+
2
x
5
15
+
.
.
,
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \operatorname {tg} x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad =x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+..,\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}
където B са числа на Бернули .
sec
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
E
2
n
(
2
n
)
!
x
2
n
,
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad ,\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}
където E са числа на Ойлер .
arcsin
x
=
∑
n
=
0
∞
(
2
n
)
!
4
n
(
n
!
)
2
(
2
n
+
1
)
x
2
n
+
1
,
|
x
|
<
1
{\displaystyle \arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad ,\left|x\right|<1}
arctg
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
2
n
+
1
x
2
n
+
1
,
|
x
|
≤
1
{\displaystyle \operatorname {arctg} x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}\quad ,\left|x\right|\leq 1}
sinh
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
1
(
2
n
+
1
)
!
x
2
n
+
1
,
∀
x
{\displaystyle \sinh \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad ,\forall x}
cosh
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
1
(
2
n
)
!
x
2
n
,
∀
x
{\displaystyle \cosh \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}\quad ,\forall x}
tgh
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
B
2
n
4
n
(
4
n
−
1
)
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
,
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \operatorname {tgh} \left(x\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad ,\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}
a
r
c
s
i
n
h
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
4
n
(
n
!
)
2
(
2
n
+
1
)
x
2
n
+
1
,
|
x
|
<
1
{\displaystyle \mathrm {arcsinh} \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad ,\left|x\right|<1}
a
r
c
t
g
h
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
1
2
n
+
1
x
2
n
+
1
,
|
x
|
<
1
{\displaystyle \mathrm {arctgh} \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}\quad ,\left|x\right|<1}
Има редица методи за изчисляване на реда на Тейлър за достатъчно голям брой функции. Редът може да се ползва така, както е даден за основните функции, а усилията да се насочат в генерализирането на коефициентите. Освен това, тъй като редът на Тейлър в общия случай е степенен, може да се използват неговите свойства за свободно умножение, деление, събиране и изваждане на основните редове. В някои случаи най-доброто решение е редът да се интегрира последователно няколко пъти.