Брахмагупта
Брахмагупта (на санскрит: ब्रह्मगुप्त) е индийски математик и астроном.
Брахмагупта ब्रह्मगुप्तः | |
индийски математик и астроном | |
Роден |
около 598 г.
|
---|---|
Починал | около 670 г.
|
Научна дейност | |
Област | Математика |
Брахмагупта в Общомедия |
Автор е на 2 значими книги в тези области – теоретичния трактат „Брахмаспхутасидханта“ и по-практически ориентираната „Кхандакхадяка“. Те са съставени в елиптични стихове, според обичайната практика на индийската математика от онова време. Той е първият автор, дефинирал правилата за смятане с числото нула.[1]
Биография
редактиранеСведенията за живота на Брахмагупта са оскъдни и идват най-вече от собствените му книги. В стихове 7 и 8 на глава XXIV на „Брахмаспхутасидханта“ се казва, че текстът е съставен от него, когато е тридесетгодишен, през 628 година при управлението на владетеля Вяграмукха, от което следва, че Брахмагупта е роден около 598 година.[2][3]
Коментаторите на Брахмагупта често го наричат велик учен от Бхиламала (днешен Бхинмал), град в днешен Раджастан, северозападна Индия, който по това време е столица на владетелите на Гурджара-Пратихара.[3] Известно е, че името на баща му е Диснугупта.[4]
Не е сигурно дали той е роден в Бхиламала или само прекарва голяма част от живота си там, покровителстван от владетеля Ваграмукха.[5] Известно време той ръководи астрономическата обсерватория в Уджейн, като през този период пише четири книги – „Кадамекела“ (624), „Брахмаспхутасидханта“ (628), „Кхандакхадяка“ (665) и „Дуркеаминарда“ (672).
Приноси към математиката
редактиранеАлгебра
редактиранеВ 18-а глава на „Брахмаспхутасидханта“ Брахмагупта дава решение на обобщеното линейно уравнение:
- Разликата между рупите, преобърната и разделена на разликата на неизвестните, е неизвестното в уравнението. Рупите са [извадени предварително] под това, от което трябва да се извадят квадратът и неизвестното.[6]
Това е решение на уравнението , еквивалентно на , а рупи са наречени константите c и e.
По-нататък в същата глава Брахмагупта дава две еквивалентни решения на общото квадратно уравнение:
- 18.44. Намали със средното [число] квадратния корен на рупите умножен с четири пъти квадрата и увеличен с квадрата на средното [число]; раздели остатъка с два пъти квадрата. [Резултатът е] средното [число].
- 18.45. Каквото е квадратният корен на рупите, умножен с квадрата и увеличен с квадрата на половината неизвестно, намали с половината на неизвестното [и] раздели [остатъка] на неговия квадрат. [Резултатът е] неизвестното.[6]
Тези 2 текста са решения на уравнението , съответно:
и
След това Брахмагупта дава решения на системи от уравнения с няколко неизвестни, в които първо желаната променлива трябва да бъде изолирана, след което уравнението да се раздели на нейния коефициент. Той нарича тази техника „стриване“:
- 18.51. Извади цветовете, различни от първия цвят. [Остатъкът] разделена на [коефициента на първия цвят] е мярката на първия. [Членовете] разглеждай два по два [редуцирани до] подобни делители [и така натататък] с повтаряне. Ако има много [цветове], стриването [трябва да се използва].[6]
Подобно на алгебрата на Диофант, и тази на Брахмагупта е синкопирана. Събирането се означава с поставяне на числата едно до друго, изваждането – с поставяне на точка над умалителя, а делението – с поставяне на делителя под делимото, както и в съвременната нотация, но без дробна черта. Умножението, коренуването и неизвестните величини се означават със съкращения на съответните термини.[7] Не е ясно до каква степен тази нотация е повлияна от елинистичната и дали двете системи нямат общ вавилонски първоизточник.[7]
Аритметика
редактиранеЧетирите основни аритметични действия – събиране, изваждане, умножение и деление – са известни на много култури дълго преди Брахмагупта, но неговата книга „Брахмаспхутасидханта“ изиграва важна роля за популяризирането в ислямския свят, а оттам и в Европа, на съвременната десетична бройна система с арабски цифри.
Брахмагупта описва умножението така:
- Множимото се повтаря като въже за крава, докато остават части в множителя и повторно се умножава с тях, а произведенията се събират заедно. Това е умножение. Или множимото се повтаря толкова пъти, колкото са съставните части на множителя.
В началото на 12-а глава на „Брахмаспхутасидханта“, озаглавена „Пресмятане“, Брахмагупта описва подробно действията с дроби. Очаква се, че читателят познава основните аритметични действия, включително извличането на квадратен корен, макар че книгата обяснява изчисляването на кубове и кубични корени на цели числа, а след това и правила за улесняване на изчисляването на квадрати и квадратни корени. Описани са правила за работа с пет вида комбинации от дроби: , , , и .[8]
Брахмагупта дава и решения за сбора на крайни редици от квадрати и кубове.
- 12.20. Сборът на квадратите е този [сбор], умножен по два пъти [броя на] стъпките, увеличен с едно [и] разделен на три. Сборът на кубовете е квадратът на този [сбор]. Много от тези [могат да се изчислят и] с еднакви топки.[9]
Резултатът на Брахмагупта е изразен чрез сбора на първите n цели числа, а не със самия брой n, както е обичайно днес:[10] сборът на квадратите на първите n естествени числа като n(n+1)(2n+1)/6, а сборът на кубовете им като (n(n+1)/2)².
„Брахмаспхутасидханта“ е най-старата известна книга, която споменава числото нула, поради което на Брахмагупта често се приписва въвеждането на концепцията за него. Дотогава нулата е използвана само като цифра или за обозначаване на отсъствие на количество, без да се извършват математически действия с нея, докато Брахмагупта излага правила за използването на нулата в аритметични действия.
В „Брахмаспхутасидханта“ са дефинирани основните действия с нула и с положителни и отрицателни числа:
- 18.30. [Сборът] на две положителни е положителен, на две отрицателни отрицателен; на положително и отрицателно е тяхната разлика; ако са равни, той е нула. Сборът на отрицателно и нула е отрицателно, на положително и нула е положително, на две нули е нула.[6]
- 18.32. Отрицателно минус нула е отрицателно, положително [минус нула] е положително; нула [минус нула] е нула. Когато положително се изважда от отрицателно или отрицателно от положително, то се добавя.[6]
- 18.33. Произведението на отрицателно и положително е отрицателно, на две отрицателни е положително и на положителни е положително; произведението на нула и отрицателно, на нула и положително или на две нули е нула.[6]
Единствено дефиницията на Брахмагупта за деление на нула се отличава от съвременното разбиране:
- 18.34. Положително, разделено на положително, или отрицателно, разделено на отрицателно, е положително; нула, разделена на нула, е нула; положително, разделено на отрицателно, е отрицателно; отрицателно, разделено на положително, е отрицателно.[6]
- 18.35. Отрицателно или положително, разделено на нула, има [нула] за делител или нула, разделена на отрицателно или положително, [има това отрицателно или положително за делител]. Квадратът на отрицателно или положително е положително; на нула е нула. Това, на което [квадратът] е квадрат е [неговият] квадратен корен.[6]
Тук Брахмагупта казва, че , а по въпроса за , където , не взима ясно становище.[11] Неговите правила за аритметически действия с нула и с отрицателни числа са близки до използваните в наши дни, с изключение на делението на нула, резултатът от което в съвременната математика е оставен неопределен.
Съчинения
редактиранеОсновният труд на Брахмагупта „Усъвършенствано учение на Брахма“ („Брахма-спхута-сидханта“) съдържа 25 раздела:
- За състоянието на земното кълбо и формата на небето и Земята.
- За въртенето на светилата и определянето на времето; за това, как да се определи средното положение на светилото; за определението на синуса на дъгата.
- Съставяне на таблица за светилата.
- За три проблема, а именно: за сянката, за изминалата част от деня и за хороскопа; а също за това, как да се изведе едното от другото.
- За това, как светилата се появяват из зад лъчите на Слънцето и как се скриват зад тях.
- За това, как се появява младата месечина, и за нейните два рога.
- За лунното затъмнение.
- За слънчевото затъмнение.
- За сянката на Луната.
- За съединяването и противостоянието на светилата.
- За размерите на светилата.
- Критика на съдържанието в книгите и таблиците, и за различаване на правилното и неправилното.
- За аритметиката и нейното използване при изчисляване на разстоянията и в другите случаи.
- За определяне средното положение на телата.
- Как се коригират таблиците за светилата.
- За точното изследване на трите проблема.
- За отклонението на затъмненията.
- За точното определяне на появяването на младата месечина и нейните два рога.
- За метода „кутака“.
- За изчисленията на размера на стиховете и метриката.
- За окръжностите и инструментите.
- За четирите измервания на времето – по Слънцето, по изгрева, по Луната и по лунните фази.
- За знаците на числата и цифрите в стихотворните съчинения по този предмет.
- За доказателствата неизползващи математика.
Втората работа на Брахмагупта, „Кхандакхадяка“ е фундаментален труд по астрономия.
Бележки
редактиране- ↑ University of St Andrews 2000.
- ↑ Pingree 1994, с. 254.
- ↑ а б Indian National Science Academy 2003.
- ↑ Sharma .
- ↑ Plofker 2007, с. 418 – 419.
- ↑ а б в г д е ж з Plofker 2007, с. 428 – 434.
- ↑ а б Boyer 1991, с. 221.
- ↑ Plofker 2007, с. 422.
- ↑ Plofker 2007, с. 421 – 427.
- ↑ Plofker 2007, с. 423.
- ↑ Boyer 1991, с. 220.
- Цитирани източници
- Boyer, Carl B. A History of Mathematics. Second Edition. John Wiley & Sons, Inc, 1991. ISBN 0-471-54397-7. (на английски)
- Brāhmasphuṭasiddhānta (ch21), Vol. 3. Indian National Science Academy, 2003. (на английски)
- Pingree, David Edwin. Census of the Exact Sciences in Sanskrit, Vol. 5. American Philosophical Society, 1994. ISBN 9780871692139. (на английски)
- Plofker, Kim. The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press, 2007. ISBN 978-0-691-11485-9. (на английски)
- Sharma, Shashi S. Mathematicians & Astronomers of Ancient India. Pitambar Publishing. ISBN 9788120914216. (на английски)
- Brahmagupta // dcs.st-and.ac.uk. University of St Andrews, 2013. Архивиран от оригинала на 2019-10-22. Посетен на 2 август 2013. (на английски)